Оглавление:
Частные производные сложной функции
Предположим, что в формуле
переменные 
являются непрерывными функциями независимых переменных 
:
В этом случае функция 
является сложной функцией аргументов .
Предположим, что функции 
имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Вычислим частные производные 
, исходя из формул (16.1) и (16.2) и не используя непосредственное представление функции z через .
Придадим аргументу 
приращение 
, сохраняя значение 
неизменным. Тогда, в силу (16.2), получат приращения 
и 
, но тогда и функция 
получит следующее приращение:
где 
— бесконечно малые функции при 
.
Разделим обе части формулы на :
Если 
, то, в силу непрерывности , 
и 
.
Переходя к пределу при , получим
Если придать аргументу 
приращение 
, сохраняя значение неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений можно получить
Пример 16.1.
Найти частные производные 
для функции 
, если 
и 
.
Решение:
Получим
где 
.
Заметим, что при записи ответа в выражения для частных производных вместо 
можно подставить их выражения через , однако это повлечет за собой громоздкие выражения.
Ответ: 
‘
где 
.
Для случая большего числа переменных формулы (16.3) и (16.4) естественным образом обобщаются. Например, если 
, где 
, то
Пусть исходная функция имеет вид 
, где 
и 
зависят от одной переменной 
. Тогда, по сути, функция 
является функцией только одной переменной 
и можно ставить вопрос о нахождении производной 
, которая называется полной производной функции :
Пример 16.2.
Найти 
для функции 
, если 
.
Решение:
Формула (16.5) в данном случае принимает вид:
Поэтому
Ответ: 
,
где 
.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
