Частные производные и дифференциалы
Дадим аргументу 
приращение 
, аргументу 
— приращение 
. Тогда функция 
получит наращенное значение 
. Величина 
называется полным приращением функции в точке 
. Если задать только приращение аргумента или только приращение аргумента , то получим частные приращения функции 
или 
.
Заметим, что полное приращение функции, чаще всего, не равно сумме частных, т.е. 
.
После определения частных приращений понятие частной производной вводится точно так же, как и для функции одного переменного: частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной независимой переменной при стремлении последнего к нулю.
Обозначения: 
и аналогично — по . Обычно используются все эти обозначения. Таким образом, для функции 
по определению:
Геометрический смысл частных производных функции в точке 
менее нагляден, чем для функции одного аргумента, но определяется точно так же. Если в данной точке поверхности провести две касательные в направлении осей и , то тангенсы углов наклона этих касательных (угловые коэффициенты касательных) по отношению к соответствующим осям и являются частными производными. Аналогичен и физический смысл: частная производная 
является скоростью изменения функции в данной точке по направлению оси 
, a 
— по направлению оси 
.
Все теоремы и свойства для производной первого порядка функции одной переменной, изложенные ранее в теме 7, без каких-либо изменений переносятся и на частные производные. Единственным существенным дополнением, вытекающим из определения частных производных, является то, что при дифференцировании по одному аргументу, второй, в этом процессе, считается постоянным числом.
В теме 7 дифференциал 
функции 
определялся как главная, линейная относительно , часть приращения функции, равная произведению 
. Аналогично, для частных производных можно определить и частные дифференциалы 
и 
. Наконец, полным дифференциалом функции двух переменных называется сумма частных дифференциалов, т.е. 
.
Остальные темы находится на этой странице и там же можно заказать любые работы по высшей математике:
Обратите внимание на эти страниц, возможно они вам будут полезны:
| Абсолютные экстремумы функции двух переменных |
| Градиент функции двух переменных |
| Формула трапеций |
| Теорема о среднем определенного интеграла |
