Абсолютные экстремумы функции двух переменных
Как и в случае одной переменной, функция имеет узловые, определяющие структуру графика точки. В первую очередь это точки экстремума — минимума и максимума.

Функция имеет максимум (минимум) в точке
, если в любой, близкой к ней точке
значения функции
меньше (больше) значения
.
Процедура отыскания экстремумов функции во многом подобна задаче для функции одной переменной. Сформулируем необходимое условие экстремума: если функция
имеет экстремум в точке
, то в этой точке ее первые частные производные равны нулю.
Таким образом, возможные точки экстремума (или стационарные точки) определятся из системы уравнений:

Так же, как и в случае функции одной переменной, если в области определения первых производных имеются точки, где производные равны бесконечности (или не существуют), то их следует включить в состав стационарных точек. Необходимое условие экстремума можно переформулировать также следующим образом: в точке минимума или максимума дифференцируемой функции градиент равен нулю.
Для определения фактического наличия экстремума и его типа необходимо применить достаточное условие. Аналог первого достаточного условия экстремума (по изменению знака производных при переходе через стационарную точку) на практике используется редко, из-за громоздкости вычислений и недостаточной наглядности. В связи с этим обычно используется аналог второго достаточного условия, который формулируется следующим образом:
Пусть функция определена в некоторой окрестности стационарной точки
и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

Здесь и
— константы. Тогда:
- если
, то в точке
функция
имеет экстремум, причем при
— максимум, при
— минимум;
- если
, то в точке
функция
экстремума не имеет;
- если
, то в точке
вопрос об экстремуме остается открытым и требуется дополнительное исследование — графическое или с применением первых частных производных (аналог первого достаточного условия).
Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:
- Найти частные производные
и
функции
.
- Найти стационарные точки функции.
- Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
- Вычислить экстремумы (экстремальные значения) функции:
.
Заметим, что в стационарных точках, в которых исследование устанавливает отсутствие экстремума или оставляет вопрос открытым, может действительно не быть экстремума, но вполне может быть и случай, показанный на рисунке:

В точке по одному направлению функция имеет минимальное значение, по перпендикулярному к нему направлению — максимальное. Такие точки называются седловыми или точками минимакса. Седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной.
Кроме того, отметим, что, так же как и в случае функции одной переменной, если задается в ограниченной области
, можно ставить задачу об отыскании глобальных экстремумов. После определения всех локальных экстремумов по вышеизложенной схеме, необходимо вычислить значения функции на границе заданной области. Сравнение локальных экстремумов и граничных значений и позволяет найти наибольшее и наименьшее значения функции
в заданной области
, т.е. глобальные экстремумы.
Остальные темы находится на этой странице и там же можно заказать любые работы по высшей математике:
Обратите внимание на эти страниц, возможно они вам будут полезны:
Градиент функции двух переменных |
Частные производные и дифференциалы |
Варианты уравнения прямой |
Построение прямых. Расстояния |