Оглавление:
Частные производные высших порядков
- Частные производные высшего порядка. Дифференциальных давайте — — — — функция аргумента ХІ, У=Ф(ХІ,Х2,…Опре-DH, разделенный на области{Af}, присутствует в каждой точке области{A1}. В этом случае указанный частный дифференциал является со-486 главой 12. Функции некоторых переменных Используйте переменные xi, Hg, HT функции, определенные в регионе (L4). Эта функция может иметь
частичную производную с аргументом Xk в точке M в области{M}. Тогда частные производные, заданные аргументом XY, называются квадратичными частными производными или квадратичными частными производными функции u=f (xi,XG,)…M аргументом X сначала аргументом Xi, а затем аргументом X. Ниже приводится один из следующих символов: d2(2) ) У Ж В этом случае, если i#=», то частичная производная — — — — — — — — Наз- ghghg
Частные производные второго порядка формируются N-ом. После введения понятия второй производной можно последовательно ввести понятие третьей Людмила Фирмаль
частной производной, а затем ввести понятие четвертой частной производной. Если предположить, что мы уже ввели понятие(n-1) — вторая частная производная функции u=f(xi,XG,…, HT) аргументами xlt, x(g,… , x1p1 (некоторые или все его числа могут совпадать) и этот (n—1)-i частный дифференциал находится в точке M частного дифференциала аргумента Xj и является указанным частным дифференциалом.., HT) аргумент x в точке M,,, xt-2,… xlfi. Таким образом, понятие N-ой функции подзадачи вводится индуктивно, и
она переходит от первой функции подзадачи к следующей функции подзадачи. Аргумент x, -, отношение, определяющее N-ю частную производную в CL…. . . Новый Джей Си имеет вид Дои _ д/ДП-1и _ _ \ДХ, ДХ,. . . ДХ, ДХ, ДХ;Я ДХ,. . . DH, DH, l1L. -1 * * * l’ll-11 1′ / Если нет, то все индексы y, i2,—, совпадают друг с другом, а затем ЧДИ Дифференциальных-ДХ называется см Еш Ан н о г ^»». частичная производная от N-й степени. Частная производная функции по аргументу x-определяется как обыкновенная производная
- функции переменной x с фиксированным значением другой переменной, поэтому метод вычисления частной производной более высокого порядка, в качестве примера, вычисляет квадратичную частную производную функции u=arctg— • У вас есть §5. Высшие пользовательские производные и дифференциал 487 Иметь ди у ДХ Х2+u2du Х2+У2 e2u d2i Х2-u2DH2-(Х2+У2)2dhdu(Х2±У2)2d2ix2-У2 Н2О (Х2+У2)2’des У2(Х2+У2) 2 В этом примере смешанные частные производные-d-2-и-и-d-2-и-равны друг другу. В «Ooby» смысл смешан- дхду Дудх Производные зависят от порядка, в котором производятся последовательные производные. Например d2y d2y , Смешанные частные производные— — — — — и — — — — — функция Дудх дхду И= 2-й -? По+’ x2+Y2^0, O в точке (0,0) x2+Y2=O существуют, но не равны друг другу.
Действительно., Ди ~ ДХ U(х*у * +У2 4х2 ) (x2+* / 2) 2 на x2+U2f0, x2+U2=0 будет 0. И так оно и есть. di I di i d2i I-lim&x=°’=° ‘ y=0 Dudh|h = O. u=o u — >0u Если вы сделаете аналогичный расчет, он будет— — — =1. dhdu x=o, y = 0 Поэтому в этот момент(0, 0) —— =4=——- дхду Дудх Получено достаточное условие, при котором смешанная производная не зависит от порядка последовательных производных. Он вводит ключевое понятие функции t дифференцируемой переменной n раз в данной точке. Функция u=f (x\, x2, XT) называется N-кратной Дифференцируемостью в точке L10(X1°,x2°, -, XT°), когда все подфункции Порядка n-1 дифференцируемы в этой точке. Из этого определения следует, что функция u=f(xj, x2,… — ,
xm)N раз производная в точке Mo, а затем при n>1 любая ee488 Глава 12. Функции некоторых переменных Первичная частичная Людмила Фирмаль
производная равна N-1 раз дифференциальной точке Mo, а N-2 раз дифференциальной точке Mo, и так далее, любая ее вторичная частичная производная равна n>2. Определено достаточное условие N-кратной Дифференцируемости функции в данной точке. Функция u=f (xi, x2,…,ХТ) — это М0 (Си°, Х2°,•••,ХТ°)является N раз дифференцируемой, а ее N следующие частные производные всех Мо является непрерывный, почти хватило. Это утверждение следует за определением функции и Дифференцируемости теоремы 12.10 о достаточных условиях Дифференцируемости. Сейчас 12.13. Пусть функция u=f(x,y)дважды дифференцируется на M0 (x0,y0). Тогда в этой точке частные производные fxyW и fyx&равны. Поскольку функция u=f(x, y) дважды дифференцируема в точке M0 (x0, yo), частные производные fx ‘и fy’ определяются в некоторых B-
соседях точки Mo и представляют дифференцируемую функцию в этой точке. Формула f-f(x0+L, Yo+^) — f (^o+L, yo)-f(x0,yo+h)+f(x0,Yo + h), (12.38)где h-произвольное число точек M(xo+h,yo+h), меньшее заданной y-окрестности точки Mo. Выражение f можно рассматривать как приращение дифференцированияfx'(x0+Qh,yo)-FX(XO,Yo), f=[/(2) xdx0,yo)+a]Y2, (12.40), где a= + pi-a20 является функцией / g>0. Сдру — §5. Высшие пользовательские производные и дифференциал 489 С другой стороны, формулу f, определяемую соотношением (12.38), можно рассматривать как инкрементную DF=f (g/0+/g)-f (Uo), которую можно дифференцировать по отрезку[z/0, Uo+h]функции f (y)=f (x0+h, y)—F (x0+/g) применяем формулу и учитываем Дифференцируемость дробного Лагранжа дробного 2mO, S + P W (12.41), где P умножается на/G->0 функция. Если
выравнять правильную часть соотношения (12.40) и (12.41) и свести обе части равенства результата к h2, то/(2) ждхо, г/о)+ » =^2) uh(Ho, y0)+R. поскольку A и p бесконечно малы относительно функций l — >0, то они следуют последнему уравнению, в котором доказана теорема f (2) Xy (x0, y0)==7 (2) vz (xo, Yo). Теорема 12.13 заключается в том, что в данной точке Afo (o, Yo) уравнение f (2′>Xy=f^2) yx, если fx ‘и fy’ дифференцируемы в этой точке. С точки зрения Дифференцируемости FX ‘n fy’ присутствует в этой точке всех вторичных частных производных. Однако сложение равенства f (2)x-y и требований непрерывности этих производных на момент рассмотрения, хотя и выполняется только при условии наличия производных fm xy и f^yx, является точно следующей теоремой истинной. Шаблон А12. 13. В
некоторой окрестности точки M0(x0, yo) функция u-f (x, y) имеет частные производные f/, fy’, f{2) xy, f, yx. Пусть,кроме того, производные функции fu>Xu и f^yx непрерывны в точке mo-и в этой точке F2′, Xu=)(2′, yx-для доказательства мы используем формулу f, из соотношения, определенного (12.39), f-точка (xo+0/g, XO+0 / g) и функция Yo'(x, Y). разность значений умножается на H — эта разность является переменной y отрезка[Yo, Yo+h] Для непрерывности f (2) x-y в точках L4o(XO, yo) из последнего уравнения$=[f (2)xj/(o.Yo)+a (h)] h2, a (/g) — >0/g->0. С другой стороны, то же самое значение f является умножением h на разность значений функций fy'(x, y) в точках (x0—h, yo+Qzh) и (x0, i/o+02^). К этой разности мы применяем Лагранжево выражение конечного приращения переменной x в отрезке[o, Xo+ / i]и учитываем непрерывность f (2) xv в Af2 (xo, yo)、 F=P x (x0, Uo)+no, где p (y) — >0at/g — >0.490 CH. 12. Функции некоторых переменных Порядок доставки (12.42) Если мы уравняем два последних
выражения F и выведем их таким же образом, как в конце доказательства теоремы 12.13, то мы убедимся в справедливости уравнения, в котором нам нужно f{2) xy (x0, yd)=fm y(x0, Yo). Здесь доказывается теорема о независимости значений смешанных частных производных n-го порядка от порядка, в котором выполняются последовательные производные. Т Е О Р Е М А12. 14. Функция u = f (x\,x2,•••,XT)умножается на M0 (xi°,x2°,)…»X™0). Тогда в этой точке значение смешанной частной производной n-го порядка не
зависит от порядка, в котором выполняются последовательные производные. Д О К а з а т е л ь с т в о. очевидно, что достаточно доказать независимость значения любой N-й смешанной производной от двух непрерывных производных, слов,_ _ d’1 и _ _ _ D’ достаточно доказать равенство. _ dpi__ _ _ _ DH p.. . dxtfc+1dxl К.. .ДСИТ dxin. .. dxikdxlk+1…рассмотрим функцию dx— — — — — — — эта функция представляет co-dx, k_v. dxit имеет двойные дифференцируемые функции переменных xlfe и x1 / GI . Таким образом, теорема 12. 13DC+1и _ ДК+1и_ДХ^+индекс _ _ _ _ ДХ ^ + IDx в Донецк-я■ ■ ■ ДХН ДХ, Купянск, Купянск^ДХ Днепропетровская-я■dxtt равенства, справедливости, следовательно, (12.42). Теорема доказана.
Смотрите также:
| Производная по направлению. Градиент | Дифференцирование сложной функции |
| Непрерывность функции m переменных по одной переменной | Достаточные условия дифференцируемости |
