Оглавление:
Асимптоты графика функции
При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при 
и при 
или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к некоторой прямой.
Определение 9.4. Прямая 
называется асимптотой графика функции 
, если расстояние 
от переменной точки графика функции 
до прямой стремится к пулю при удалении точки от начала системы координат.
Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение 9.5. Прямая 
называется вертикальной асимптотой графика функции 
, если хотя бы одно из предельных значений 
равно 
.
В этом случае расстояние от точки графика функции 
до прямой 
равно 
и, следовательно, 
.
Пример 9.6.
График функции 
имеет вертикальную асимптоту 
, так как 
.
Определение 9.6. Прямая 
называется горизонтальной асимптотой графика функции 
, если 
.
В этом случае расстояние от точки графика функции 
до прямой равно 
и, следовательно, 
, так как 
.
Пример 9.6 (продолжение).
График функции 
имеет горизонтальную асимптоту 
и при 
, так как 
.
Определение 9.7. Прямая 
называется наклонной асимптотой графика функции 
при 
, если функцию 
можно представить в виде
где 
при 
.
Теорема 9.7. Для того чтобы прямая 
являлась наклонной асимптотой графика функции 
при , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:
Доказательство. Рассмотрим случай .
Необходимость.
Если 
— наклонная асимптота графика функции 
, то, используя представление функции по формуле (9.1), получим:
Достаточность.
Пусть существуют пределы (9.2). Тогда из второго равенства следует, что
Полученное равенство легко преобразовать к виду (9.1), т. е. прямая 
— наклонная асимптота графика функции 
. ■
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
