Аналитическая теория дифференциальных уравнений XIX

Оглавление:

Предмет: Философия

Тип работы: Реферат

У вас нет времени или вам не удаётся понять эту тему? Напишите мне в whatsapp, согласуем сроки и я вам помогу!

На странице рефераты по философии вы найдете много готовых тем для рефератов по предмету «Философия».

Дополнительные готовые рефераты на темы:

Введение

Уравнение называется дифференциальным, если, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, оно содержит производные неизвестных функций (или их дифференциалы).

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной.

Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если оно содержит несколько независимых переменных, функции этих переменных и частные производные этих функций.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется система функций, подстановка которых вместо неизвестных обращает уравнение в тождество.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общими, частными и особыми.

Общими решениями дифференциальных уравнений называются решения, содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частными решениями дифференциальных уравнений называются решения, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных.

Особыми решениями дифференциальных уравнений называются решения, которые вообще не содержатся в общих решениях, т.е. не получаются из них при частных значениях произвольных постоянных.

Решения дифференциальных уравнений в частных производных содержат произвольные функции.

Частное решение получается надлежащим выбором произвольных функций.

Жизнь и деятельность ученого

Давид Гильберт – известный математик и преподаватель высочайшего класса, не знавший усталости, настойчивый в своих намерениях, вдохновляющий и великодушный, один из великих в своем времени.

Творческая мощь, самобытная оригинальность мышления, удивительная проницательность и разносторонность интересов сделали Давида первооткрывателем в большинстве областей точных наук.

Давид родился в городе Велау, расположенном недалеко от Кёнигсберга (Пруссия). Появившийся на свет 23 января 1862 года, он был первенцем у семейной пары – Отто и Марии. Гильберт не являлся вундеркиндом; поочередно ставя перед собой цель в полной мере исследовать каждую область математики, он решал интересовавшие его задачи. С завершением творческого порыва изученное поле деятельности Давид оставлял своим студентам. Причем оставлял в абсолютном порядке, преподав для них соответствующий курс и опубликовав хороший учебник последователям.

Мог Гильберт поступить и по-другому: объявлял на новый учебный год специальный курс по не изученной им области математики и покорял ее вместе с набранными студентами. Попасть на такой курс считалось огромной удачей, хотя в действительности обучение на нем являлось огромным испытанием.

Давид Гильберт, биография которого интересна современному поколению, был заботлив и вежлив с учениками, в которых чувствовал потенциал. Если искра угасала, то ученый вежливо рекомендовал им попробовать себя в другом роде деятельности. Некоторые ученики Гильберта следовали совету учителя и становились инженерами, физиками и даже литераторами. Профессор не понимал бездельников и считал их неполноценными людьми. Будучи очень уважаемым человеком науки, Давид имел свои особенности. В теплую погоду он приходил на лекции в рубашке с коротким рукавом и открытым воротником, что совсем не подобало профессору, либо разносил цветочные букеты многочисленным пассиям. Мог впереди на велосипеде, будто какой-то подарок, везти емкость с удобрениями.

Первые исследования Гильберта

Свои способности к точным наукам Давид Гильберт, краткая биография которого описана в нашей статье, ощутил еще в Кёнигсберге, где профессия математика мало почиталась. Поэтому, остановив свой выбор на тихом Геттингене – месте сбора немецких математиков, Гильберт в 1895 году перебрался туда и успешно проработал до 1933 года – момента прихода к власти Адольфа Гитлера.

Свои лекции Гильберт читал медленно, без излишних украшений, с частыми повторениями для того, чтобы его все поняли. Также Давид всегда повторял предыдущий материал. Лекции Гильберта всегда собирали большое количество людей: в зал могло набиться несколько сотен человек, которые располагались даже на подоконниках.

Исследования Давид начал с алгебры, точнее – с преобразований в теории чисел. Доклад на данную тему стал основой его учебника.

Не оставляя надежды видеть Гильберта среди лучших математиков Германии, Клейн в 1892 году предлагал его кандидатуру на место Амандуса Шварца в Геттингенском университете. Тогда Клейну не удалось убедить коллег, и в Геттингене оказался Генрих Вебер. Спустя три года, после переезда Вебера в Страсбург, его место занял Гильберт. Каждое утро он входил в аудитории, где до него работали Карл Гаусс, Бернхард Риман и Петер Дирихле. С приходом Гильберта в Геттингенский университет устремились студенты со всего мира. Ученый воспитал многих прославленных математиков и одного выдающегося шахматиста, Эммануэля Ласкера.

В 1933 году, когда к власти пришли нацисты, жизнь в Германии полностью изменилась. Все преподаватели Геттингенского университета, имевшие еврейское происхождение, были уволены. Гильберт же пострадал за одно лишь имя, ему разрешили читать лекцию по основам геометрии раз в неделю. Уже спустя год он в последний раз переступил порог Геттингенского университета. Оставив преподавательскую деятельность, Гильберт уделял все свое время работе в авторитетном научном журнале Mathematische Annalen («Математические анналы»).

Математику удавалось решить задачу из любой области, за которую он брался. Его сильной стороной было умение обобщать и всесторонне анализировать. В возрасте 26 лет он решил проблему инвариантов Гордана, доказав, что они имеют конечный целый базис. Впоследствии Гильберт завершил доказательство формальным построением этого базиса. Спустя пять лет, в 1893 году, по приглашению Немецкого математического общества Гильберт вместе с Минковским начал работу над масштабным сочинением по теории алгебраических чисел Zahlbericht (досл. «Отчет о числах»). Помимо анализа трудов Эдуарда Куммера, Леопольда Кронекера и Рихарда Дедекинда, Zahlbericht содержит и множество собственных идей Гильберта. Издав «Отчет о числах» в 1897 году, Гильберт обратился к евклидовой геометрии. Математик, тяготевший к аксиоматическим методам, построил более полную систему из 21 аксиомы. Итогом его размышлений стала работа Grundlagen der Geometrie («Основания геометрии»), опубликованная в 1899 году.

Предыстория

Гильберта пригласили прочитать лекцию на втором международном конгрессе математиков в Париже в августе 1900 года. Он решил не читать «лекцию», в которой он будет читать лекции и ценить то, что было достигнуто в математике, ни отвечать на лекцию Анри Пуанкаре на первом международном конгрессе математиков в 1897 году, в которой говорилось о взаимосвязи между математика и физика. Вместо этого его лекция была направлена на то, чтобы предложить программный взгляд на математику будущего в грядущем столетии . Эта цель выражена в его вступительных словах: «Кто из нас не хотел бы приоткрывать завесу, за которой скрывается будущее, чтобы увидеть грядущие успехи в нашей науке и загадки ее развития в грядущие века! Какие особые цели будут преследовать ведущие математические умы грядущих поколений? Какие новые методы и новые факты откроют новые века — в широком и богатом поле математической мысли? » Поэтому он использовал конгресс как возможность составить тематически широкий список нерешенных математических проблем. Уже в декабре 1899 года он задумался над этим предметом. В начале нового года он попросил своего близкого друга Германа Минковского и Адольфа Гурвица дать предложения относительно того, какие области должна охватывать соответствующая лекция; оба прочитали рукопись и прокомментировали ее перед лекцией. Однако Гильберт окончательно записал свой список только непосредственно перед конгрессом, поэтому он не фигурирует в официальной программе конгресса. Первоначально лекцию предполагалось прочитать на открытии, но Гильберт тогда еще работал над ней. На конгресс приехало меньше математиков, чем ожидалось (около 250 вместо ожидаемых 1000). Гурвица и Феликса Кляйна не было, кроме Минковского. Гильберт был президентом секции алгебры и теории чисел, заседавшей с 7 августа (второй день конференции) по 10 августа. Лекция Гильберта состоялась в разделах 5 и 6 (Библиография, история, преподавание и методы, президентство Морица Кантора ) в среду, 8 августа, утром в Сорбонне . Из-за нехватки времени он первоначально представил только десять задач (№№ 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22). Присутствующие получили краткое изложение списка на французском языке, которое вскоре после этого появилось в швейцарском журнале L’Enseignement Mathématique . Полный текст немецкой оригинальной статьи вскоре появился в новостях Королевского общества наук в Геттингене и в 1901 году с некоторыми дополнениями в архиве математики и физики . В 2000 году немецкий историк Рюдигер Тиле обнаружил 24-ю проблему в исходных заметках Гильберта , которая, однако, отсутствовала в окончательной версии списка и может быть отнесена к области теории доказательств .

Математика на рубеже веков еще не получила широкого распространения. Тенденция к замене слов символами и нечетких понятий строгой аксиоматикой еще не была ярко выражена и заключалась лишь в том, чтобы позволить следующему поколению математиков более четко формализовать свой предмет. Гильберт еще не может упасть обратно на теории множеств Цермело-Френкеля , такие термины, как топологического пространства и интеграла Лебега или тезиса Черча-Тьюринга . Функциональный анализ , который сам по себе среди прочего , путем Гильберта с введением одноименном гильбертова пространства была установлена, еще не как математическое поле вариационного исчисления разделены. Многие проблемы в списке Гильберта — отчасти по этой причине — не сформулированы настолько точно и ограниченно, чтобы их можно было решить путем публикации свидетельств . Некоторые проблемы представляют собой менее конкретные вопросы, чем призывы к исследованиям в определенных областях; для других проблем вопросы слишком расплывчаты, чтобы можно было точно сказать, что Гильберт счел бы решением. Однако ошибку Гильберта, не влияющую на постановку задач, можно найти во введении к статье. В нем он выражает свою убежденность в том, что каждая проблема должна быть решаема фундаментально: «Эта убежденность в разрешимости каждой математической задачи является для нас мощным стимулом в нашей работе; мы слышим внутри себя постоянный зов: проблема есть, ищите решение. Вы можете найти это с помощью чистого мышления; потому что в математике нет невежества ! »

21-я проблема Гильберта

Двадцать первая пробле́ма Гильберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков, состоявшая в подтверждении или опровержении гипотезы о существовании системы линейных дифференциальных уравнений для произвольной заданной системы особых точек и заданной матрице монодромии.

Решена построением контрпримера в 1989 году Андреем Болибрухом. При этом долгое время считалась решённой в 1908 году Йосипом Племелем, однако в его положительном решении в 1970-х годах Юлием Ильяшенко была обнаружена ошибка — конструкция Племеля позволяла строить требуемую систему лишь при условии диагонализируемости хотя бы одной из матриц монодромии)

Вопрос: Всегда ли существует система фуксовых дифференциальных уравнений с данной особенностью и данной монодромной группой ? Решение: нет.

Дифференциальные уравнения Фукса представляют собой однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка в комплексе (рассматриваемом на сфере Римана , то есть с бесконечно удаленной точкой ), в которых сингулярное поведение коэффициентных функций определенным образом ограничено. Ее можно представить в виде эквивалентной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с матрицей коэффициентных функций только с полюсами первого порядка. Если продолжить локально данное решение вокруг k особых мест , то при возврате в начальную точку получится преобразование фундаментальной системы решений в самой себе через матрицу n × n, матрицу монодромии. Гомоморфизм в фундаментальных группы из в общей линейной группе получается . Проблема в следующем: существует ли такая система дифференциальных уравнений для k данных особых мест и произвольной подгруппы в виде матрицы монодрома?

После того, как на вопрос можно было изначально ответить положительно для некоторых частных случаев (включая самого Гильберта, занимавшегося проблемой, а до этого Пуанкаре и Людвиг Шлезингер ), и до 1980-х годов считалось, что Иосип Племель уже нашел решение в 1908 году (в утвердительном смысле ), используя теорию интегральных уравнений Фредгольма, в его доказательстве в начале 1980-х была обнаружена лазейка. Доказательство Племеля применимо не ко всем фуксовым системам, а только с так называемыми регулярными особыми местами (полиномиальный рост функции вокруг особых мест), потому что Андрей Болибрух нашел контрпример в 1989 году. Но Болибрух обнаружил, что существуют такие дифференциальные уравнения, если рассматривать неприводимые представления монодромной группы, и классифицировал все фуксовы системы, для которых существует монодромное представление при n = 3. Были также рассмотрены различные обобщения помимо дифференциальных уравнений Фукса (например, Гельмутом Рёрлем ). Для регулярных особых точек и обобщений концепции обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Пьеру Делиню удалось общее положительное решение проблемы.

Заключение

Гильберт не желал принимать такое «увечье» математики. Ему казалось, что он видел путь, на котором смог бы восстановить элементарную математическую объективность, к которой стремился Брауер, не теряя при этом большую часть самой математики. Это была «теория доказательства». Гильберт предложил превратить математику в формализованную систему, объекты которой — математические теоремы и их доказательства — выражаются на языке символической логики в виде предложений, имеющих только символическую, а не смысловую структуру. Эти объекты должны быть выбраны так, чтобы адекватно представлять данную математическую теорию, т. е. охватывать совокупность всех ее теорем. Непротиворечивость этой формальной системы (т. е. математики) будет доказываться с помощью методов, которые Гильберт назвал финитными. Под «финитностью» понималось то, что «рассматриваемые рассуждения, утверждения или определения должны находиться в рамках непосредственного общения с объектом, отличаться явной практичностью используемых методов и, в соответствии с этим, их можно было бы эффективно контролировать». Таким образом можно было бы преодолеть кризис оснований математики и избавиться от него раз и навсегда.

К сожалению, планам Гильберта не суждено было сбыться. В 1930 году Курт Гедель, 25-летний специалист по математической логике, опубликовал статью, в которой был сделан вывод, нанесший смертельный удар по планам Гильберта. В своей статье Геделю удалось доказать со всей строгостью, на которую способна математика, неполноту формализованной теории чисел. Он также доказал теорему, из которой следует, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения. Тем не менее, подход Гильберта значительно обогатил и поднял на совершенно иной уровень всю математическую логику.

Давид Гильберт умер 14 февраля 1943 года в возрасте 81 года. С его смертью математика потеряла одного из своих великих мастеров. Работы Гильберта во многом послужили той счастливой гармонии, в которой развивается математика по сей день.

Список литературы

Дэвид Гильберт: математические проблемы . В: Новости Королевского общества наук в Геттингене, математико-физический класс. Выпуск 3, 1900, с. 253-297, ISSN 0369-6650 .
Дэвид Гильберт: Sur lesproblemèmes futurs des mathématiques . Compte Rendu du deuxième congrès international des mathématiciens, Париж, Готье-Виллар, 1902, стр. 58–114 (французский перевод Леонса Лаугеля).
Дэвид Гильберт: Математические проблемы . Бюллетень Американского математического общества, том 8, 1901, стр. 437-479 (английский перевод Мэри Ньюсон).
Дэвид Гильберт: математические проблемы . Математико-физический архив, 3-я серия, том 1, 1901 г., стр. 44–63, стр. 213–237.
Дэвид Гильберт: Лекция «Математические проблемы». Состоялся на II Международном конгрессе математиков в Париже 1900.
Рыбников К.А. История математики. — М.,1994.
Строик Д.Я. Краткий очерк истории математики.— М., 1969.