Оглавление:
Колебания упругих тел с распределенными массами
- Вибрация упругого тела С рассеянными массами Поперечная вибрация струны. Получено дифференциальное уравнение поперечной вибрации струны. Для этого рассмотрим отклонение струн, зафиксированных в точках а и в(рис. 541, а). Его начальное напряжение-П. Длина строки./ Рассмотрим элемент строки с массой dm, предполагая, что все точки строки находятся на плоскости XY при отклонении. Нарисуем касательную к строке в крайней точке элемента. угол наклона касательной к оси x равен
углу между А и(рис. 541, б). Мы тоже думаем о них как о меньших. Точка X Y ось ou компонент натяжения= Рис пятьсот сорок один И в точке x+dx А р ы, у+dу = Psin СЧ. Из-за малости угла можно предположить, что»tg c c=-J -; sin a», tg a,= — ^+dx. Сумма проекций натяжения на оси Y равна DY=P — ^L d x. чтобы найти уравнение движения dx2, необходимо, согласно принципу
Д’Аламбера, приравнять эту силу к силе инерции элементов струны, которая Людмила Фирмаль
равна daeg dm. =P d x ’ (20.83)представляет вес всей строки в Q.: dm= — D-dxt, где g-ускорение свободного падения. Тогда уравнение (20.83) имеет вид (Ru Pgl&Y di2Q dx1′ (20.84) 564 Ссылка — ^<2 — =2-е выражение (20.84) записать следующим образом: d2u&U Dr DHG • (20.85) Это уравнение плоской поперечной вибрации натянутой струны. Теперь задача состоит в том, чтобы найти a как функцию x и T. г= = Ф(Х, я). Эта функция называется 1) дифференциальным
уравнением (20.85), 2) граничным условием, т. е. x=0 и x=I для y-0, или Ф=(0,/)=0;Ф(Я,/)=0;(20.86) 3) в начальных условиях, а именно t-0, необходимо обратиться к заданной функции отклонения f (x, 0)=f (x). (20.87)кроме того, частичная производная от t=0 должна соответствовать заданной функции v (x) (начальная скорость): ДФ (х,0)ДТ (20.88) Условие (20.87) означает, что в первый момент, то есть t—0, строка имеет заданную форму. 542). При T=0 штифт снимается, и струна начинает вибрировать. Условие (20.88) означает, что в первый момент все точки струны имеют заданную скорость,
- в частности, как показано на рисунке, они могут быть неподвижны. Пятьсот сорок два Решение уравнения(20.85), согласно методу Фурье, ищет его в виде y=XT(20.89) Где X и T-функции x, соответственно, и/: X=L (x); T= / 2 (/). Если вы дифференцируете уравнение (20.89) по X и/、 Фу V и т. ІТ ди2-л ст2’DH2DH2DH2 * 56s если вы назначите эти выражения выражению (20.85), то последнее будет иметь следующий вид V л т Л д/2 ″ dx2 • Или −1T-da2tg= — a2x — (Rex — ’(2 0-9 0)уравнивает правую и левую части последнего уравнения к одной и той же константе-/G2, получаем два уравнения: tfiT-d*x_ * 2dP-r r i’Dx2-(20.91) эти две инвариантные части являются:: Т=потому что КТ; Т2=грех КТ; Х.=соѕ-х; ХТ=грех-топор.(20.92) Это легко увидеть, подставив их в Формулу (20.91). Л Из функции (20.92) cos-x необходимо
исключить как выражение, не удовлетворяющее первому условию (20.86), поскольку оно не сбрасывается в ноль при x=0. Чтобы Sin-x был равен нулю при x=/, K=, где K-целое число. Уравнение kl=a / HL называется формулой периода или формулой частоты. Это получается непосредственно из граничных условий. Теперь у нас есть решение двух частных уравнений(20.85): Умножьте каждое из этих решений на неопределенные коэффициенты A и B и добавьте эти два решения, чтобы получить общее решение в виде НПС г, т ВП грех АПЛ-г- (20.94) Или、 APL AP=SP cos t»; VP=SP sin, где SP и t «- константы, а уравнение (20.94) записывается как * PL APL/1″y=C»sm-x c o s-j— (/- TP). I (20.95) полученное уравнение характеризует
движение как периодическое. Период колебаний / 2L APL(20.96) Колебания частоты ( Людмила Фирмаль
1_AP G n7~2G’(20.97) при I=1 струна вибрирует в основном тоне(полуволне). При N=2 хорда колеблется, образуя две полуволны, а при n=3-имея три полуволны(рис. 543).. — Характер колебаний, при которых струны s и s фактически расплавляются, зависит от начальных условий. Например, если t=0 и имеет форму первой кривой (и=1), а все ее точки неподвижны, то струна будет вибрировать только в основном тоне. Если начальная форма аккорда отличается, то помимо основного звука появляются обертоны, так как колебания струн представляют собой совокупность
перекрывающихся индивидуальных колебаний. Уравнение движения, в данном случае, принимает следующий вид: y=2(L l c o s n+Bn sinn-y-f) sin/?. (20.98)для окончательного решения n-задачи начальные условия(20.87)и(20.88)должны определять коэффициенты A и B уравнения (20.98). Из условия(20.87) И (Г)/-=о=грех = F(х), л=0 (20.99) из состояния (20.88) ПЛА Син РМ (20.100) Здесь [(x) и v (x) — функции, заданные в диапазоне от 0 до/. Уравнения (20.99) и (20.100)должны разложить эти функции в ряд, который является тригонометрической функцией, кратной углу-y. задача решается методом Фурье, который, как известно, эквивалентен (20.99), умноженному на sin m y и интегрированному по всей длине от 0 до I. ’ 00o\Ф (Х)грех—л=2И л * грех грех и Т-ДХ. (20.101) •По o1 ″ m~ — o_p e V * * все члены справа от этого равенства, n=I=t i(1s. in-pzjis-S. in-ttcj-x
jd x=~0,/L(2L0. 102) о И с п=т Я с РРН ТТХ, 1) грех-Джей-грех — ДХ= — г. (20.103)доказать равенство(20.102)и(20.103)о. Кос (а-п)=потому что п+п грех грехом; потому что (A+р)=потому что, потому что г-грех, грех П; Рассмотрим второй Интеграл правой части этого равенства. Он представляет собой область, ограниченную кривой y=cos(и+t) если n-L t четно, кривая принимает вид, показанный на рисунке. Вид на рисунке-544, причем, если p+t нечетно. 544, b. In в обоих случаях площади отдельных частей взаимно разрушаются. Интеграл i J cos (n-tn) dx o также исчезает для всех значений n=£t, а значение n=/Pego равно/. Итак, на правой стороне равенства 568 (20.101) не исчезает единственный термин, который входит в равенство (20.103). Здесь доказано, что I L » = — y j f (x) sin dx. (20.104) Отчет Точно так же Я В »
о, грех-Т-ДХ — <2° -, О5> С помощью этих уравнений можно определить движение струны одновременно с серией (20.98). Продольная вибрация стержня. В отличие от струн, перейдем к рассмотрению колец призматического стержня со значительной боковой жесткостью. Прежде всего, напомним, что существует три вида колебаний: вертикальные, горизонтальные, скручивающие. При продольных колебаниях все частицы стержня движутся параллельно его оси (рис. 545, А). Сжатие и растяжение чередуются друг с другом как во времени, так и в пространстве. Вы увидите много вибрации стержня. Для этого рассматривается динамическое равновесное
состояние колеблющегося стержня. Сечения а и в (рис. 545, Б) ограничьте базовую длину dx и периодически перемещайте ее. Смещение любого сечения с координатой x и может быть представлено как и=f (x, t). Эта формула указывает на наличие в стержне относительного смещения отдельных поперечных сечений. Если сечение а перемещается на и, А Б — •и, то элемент DX удлинения сечения а(фиг. 545, C) E= = — § — * осевая сила CE У К Б икс ———— И Х НД-х АГ Продвижение и N=PF — 1А л ДХ В сечении в, расположенном на расстоянии dx, близком к бесконечности, осевая сила этих сил должна быть равна силе инерции элемента, а ее величина зависит от массы и длины стержня т.. т&г, 1г г X’ Тогда уравнение движения (20.106) т<ри, ДХ=—477-ДХ. Я ут2 После сокращения с помощью Dx и замены на p (плотность материала) мы получаем F _ dи L: DC^ — R a/2(20 литров)) Это уравнение замечательно тем, что движение,
которое оно выражает, не зависит от размера стержня. Если поставить Е 2 — =а, п Затем вы получаете уравнение движения хорды (20.85) и уравнение, которое соответствует в виде: д*я о d2i DT2 и DH2 * (20.108) Поэтому вибрацию струны при рассмотрении получения уравнения вертикальной вибрации с помощью автоматически рассчитываемого стержня в этом случае необходимо лишь скорректировать величину, соответствующую коэффициенту А. Крутильная вибрация стержня. Если какое-то крутильное колебание характеризуется волнистой линией, например, движением цилиндрического стержня, то лучше всего изобразить его на расширенной поверхности стержня (см. Рисунок). 546, а). Скрутите
участок расстояния x против участка, зафиксированного под углом f, и скрутите участок на расстоянии x+dx-под углом f+^d x(рис. 546, б). Тогда величина относительного угла кручения длины DX элемента будет равна крутящему моменту обоих сечений-соответственно он — • +4 Чтобы сделать результат этих моментов равным моменту инерции вращения элементов длины dx равным 5t0, pJp — ^R d x, получим уравнение движения Она пройдет в формате после снижения к ДЖП и ДХ Г^<р=р^ф_ dx2 * ст2’(20.109) Маркировка — П Вибрация находится в фазе струны: Через I2 мы снова получаем уравнение в виде Ko- (} 2F_ _ ^F dt2DH2′ (20.110) Поэтому в данном случае справедлива формула, полученная при рассмотрении вибрации струн.
Смотрите также:
