Касательная плоскость к поверхности

Оглавление:

Касательная плоскость к поверхности

Касательная плоскость к поверхности. Мы уже обработали поверхность, заданную уравнением[n°124] Р = НХ, у); (19） Это явное определение поверхности*). в аналитической геометрии поверхности часто задаются неявными уравнениями： Р(Х, У, 2)= 0, (20） Переменные не допускаются. Х * г * 2И^® Пример^ r + ^ r + I = °(эллипсоид）、 Х * В * 2 * ^5 + p * ^ r = 0 (2-й конус). Как и в случае неявного задания плоской кривой при определенных условиях,**), где выражение (20) эквивалентно выражению в виде (19), которое определяет одну из координат как функцию от других 2 функций (непрерывный дифференциал в частных производных), но явное выражение этой функции неизвестно. Пусть M (x, y, r) некоторая точка на поверхности (20).Нарисуйте произвольную кривую через M на поверхности и создайте касательную к этой кривой в этой точке.

Таким образом, это относится ко всем точкам касательной (касательной определения). Людмила Фирмаль

Таких кривых (и касательных к ним) бесчисленное множество. Если все касательные точки M для различных кривых, нарисованных вдоль этой точки вдоль поверхности, находятся в одной плоскости, то сама плоскость называется касательной. * ) Конечно, особая роль r случайна. Определение поверхности по уравнению формы также очевидно. л:=#(УР г) или Г-Л(Г, х). * См. сноски на стр. 392 (•). К поверхности точки М; Точка М называется контактом. Можно представить, что кривая (20), проведенная вдоль поверхности, обычно аналитически представлена уравнением в форме (15).Предполагая, что кривая находится на поверхности во всех ее точках, уравнение (20) используется вместо функции p, φ и x«et0 соответственно, вместо x, y, r уравнение становится равенством по параметру I.

Используя инвариантность вида (первой) производной, получаем n°143 Резус• ых -} ру * ю-Ф / ^ * уу = 0,(21） Здесь значения аргументов функций Px, p «y, p’r, в частности, принимают координаты x, y, r контакта M, а под yx, yy, th% необходимо понимать разность между соответствующими значениями функции (15) и касательной C рассматриваемой кривой в точке M (x, y, r) выражается в том, что X, Y, 2 являются текущими координатами, а xx, yy и yr-такими же, как и сейчас. (21) вместо YX, yy, YY пропорционально им-по (17) разность X-x, Y-y, 2-g и, наконец, получается равенство К(Х-х)+ ру(т-т)+ ТГ(2-г)= 0,(22） Точка M является производной от Px, 5.Если хотя бы 1 не равно нулю, то уравнение (22) представляет собой уравнение плоскости, являющейся касательной плоскостью.

В том исключительном случае, в то время, когда он рассматривался одновременно (такая точка называется сингулярностью), уравнение (22) становится тождественным, и касательная плоскость может не существовать. Людмила Фирмаль

Пример 1) эллипсоид： Касательная плоскость получается по формуле (22), учитывающей уравнение самого эллипса в виде: 2) 2 следующих конуса： Касательная плоскость： а * б * с » В вершине конуса, являющейся сингулярностью (0, 0, 0), это уравнение теряет смысл и не имеет касательной плоскости. $ Икс= Rx Соз / Л = К ± / р ’ х л-ру + пр Косинус направления нормальной плоскости (называемой перпендикулярной касательной плоскости в точке касания) явно равен РЗ CO $ V = Явное уравнение (19) может быть переписано в виде: р.(/Х, Y)= 0、 Формула (20) рассматривается как частный случай. При вводе стандартной нотации： Д± = П-1 = п р ДХ ’ду ч’ Ре (23） В этом случае уравнение касательной плоскости (22) выглядит следующим образом. 2-р = р(х-х)+ Д(Г-г）、 А Косинус направления нормали выглядит так: cos X = ±У1 + РФ?* ’ Один Р-И.

Положительное направление касательной.	Направление вогнутости, точки перегиба.
Случай пространственной кривой.	Понятие кривизны.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.