Интегрирование выражений вида R[х, sqrt(ax^2+bx+c)]. Подстановки Эйлера

Оглавление:

Интегрирование выражений вида R[х, sqrt(ax^2+bx+c)]. Подстановки Эйлера

Интегрирование выражений вида R[х, sqrt(ax^2+bx+c)]. Подстановки Эйлера. Рассмотрим очень важный класс интегралов ^#(х> в + ьх + с) ух. (3） Конечно, квадратное трехчленное уравнение не имеет равных корней, и поэтому его корни не могут быть заменены рациональными формулами. Мы изучаем 3 перестановки, называемые перестановками Эйлера. Это гарантирует, что вы всегда можете достичь рационализации подынтегрального выражения здесь. Первая перестановка применима для a0.Затем рассматривать U ax * c = I-U a x*). Так как если мы возведем это равенство в квадрат, то найдем bx + c = I *-2 Y a 1x(разбив член ax *в обеих частях)、 -с / 4 -; л— | г 1 * + л + ТС х= -, а? 4 ьх + с =-м = −1 ———、 2 СО1 + Б 1 2 v0 в(+ б л ых = 2 _ О У А 1 ′+ В1 + КУА (2 СО1 + б) ’ Весь смысл подстановки Эйлера состоит в том, чтобы получить уравнение первого порядка для определения x. следовательно, X>и в то же время радикал Y ax * bx].

Здесь мы покажем, что во всех возможных случаях только 1-я и 3-я перестановки Эйлера достаточны для оптимизации подынтегрального выражения (3). Людмила Фирмаль

Подставляя уравнения в (3), проблема будет интегрировать рациональные функции и. В результате, обратно х、 Л = у ах *—ьх-\ с-\ г топор. В этом случае применяется 2-я замена Смогите быть помещено ах * + ьх {с = Х1-* / Т**). *) У ах * + ВХ-БС〜(\ААА. ** ) Или Y ax * 4-bx c = x1-Us、 Если он возведен в квадрат, разрушен в обеих частях и уменьшен в x, то уравнение 1-го порядка снова получается относительно ax \ b = x1 * \ 2Y-c ^ x. отсюда 2 я-б я-я с + аус н-У-1 * —г + ц ы ых =(1 {—）* -И. a-C * ’ 11 a-1 ’ Подставляя это в(3), очевидно, упростит субинтегральную формулу. Интеграция, как результат Л Г секирой%LХ + с — нами х• Примечание I. перечисленные выше случаи (a> 0 и c> 0） Путем подстановки x = сводятся друг к другу. Поэтому всегда Вы можете избежать использования 2-й замены. Наконец, 3-я перестановка подходит, если квадратная тройка ax * c имеет (разные) вещественные корни X и / Λ.

И это трехчленное выражение, как известно, разлагается на линейные множители топор%-\ ьх-\ С = А(х-х) (п; к\ ） Поставь ах * ВХ -) с = СХ-х). Путем возведения в квадрат и уменьшения с помощью x-X, мы получаем 1-е уравнение a(x-[A)= ^(D:-X) здесь. * ’■»» * +» * + ^ 2а / / / С1 (**г И так далее Н. По предположениям, экстремисты вы можете конвертировать в (x-X) (x-μ) (для ясности, например x]> X ( • * * > / * !что?。Так что в данном случае К(Х, Y топором ^ ^ ьх-\ с)=/?！ [Х, Y И, по существу, он имеет дело с типом дифференцировки, изученным в n ^® 168.3-я замена Эйлера, которая может быть описана в форме, идентична замене, уже показанной в§ 168. Действительно, если существует реальный корень в тернарном ax * + bx + c, как мы видели, 3-я перестановка может быть применена.

Если нет действительного корня, т. е. b9-4ac> 0, то тернарное уравнение ax9 + bx + c = ^ [(2ax + b)% 4 (4 ac ^ 8)| Все значения переменной x имеют знак a. если a> 0, то вам это не интересно. Потому что радикалы вообще не имеют никакой реальной ценности. если a> 0, применяется первая подстановка. В то же время эти соображения приводят к общему утверждению. Интеграл типа(3) всегда используется в конечном виде, и для их представления, кроме функции, для которой выражается Интеграл рациональной производной, нужен только квадратный корень. R s P r и m. 1) в n * 161, 6) мы фактически применили первую подстановку к вычислению интеграла Да. y x±a * 2-й главный Интеграл У * Х ’ Да. Я Вы можете видеть это из основных соображений, но упражнения применяют замену Эйлера. И затем… х = а Г *-г = *(а-г） Я * −1. Эээээй(_ = 2а * ** + 1 ’«（* + 1） ^и LG » * * + 1 Шестьдесят один С■А* = 2 С-У— =2агс1й^ +С=2агс1ел[+С. 3 уа * х*) * » 4-1 * в А-х а * * ХХ.)1 * + 1 Потому что у нас есть личность.

При использовании 3-й замены сначала, этот результат может отличаться только по форме от того, что уже известно. Людмила Фирмаль

Читатель должен продолжать рассматривать возможность того, что интеграл может быть получен в розовом виде, в зависимости от метода, используемого для его вычисления. (b)при применении 2-й перестановки к тому же интегралу Г *-х * = Х1-、 Тогда Вы тоже получите. С^ -_ ^ =-2С-=-2сс1е* +С=ЛУа-х 1 я * 4-1 =2ags1§ + С ВарЗдесь мы сталкиваемся с еще одной странной ситуацией. Этот результат подходит отдельно для интервала (a, 0) и интервала (0, a).Точка q: выражение при= 0 −2 agst ^ д 4-У * Х * Х Бессмысленный. Х + он как *-•+ 0 предел этого выражения разный. Соответственно, и МФ-МФ будет равным. Если вы выберете другое значение константы C для указанного выше интервала и возьмете значение в x таким образом, что 2-й интервал будет на 2 мс больше первого интервала, вы можете настроить непрерывную функцию со всем интервалом.

Интегрирование выражений вида R[x,((ax+b)/(cx+d))^(1/m)].	Интегрирование дифференциалов R(sinx,cosx).
Интегрирование биномиальных дифференциалов.	Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции. Обзор других случаев.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.