Формула Тейлора

Оглавление:

Формула Тейлора

Формула Тейлора. Если вы уже знаете(n°107,(126)]функцию P ((), где I + 1-1-я производная、 Согласно формуле Тейлора, ее можно разложить следующим образом: Ап («)= ап Р0)+ ^ с? Р(0)+ …■+%Р? (Ля+)> +(5ГП) 1′, + 1р (^+9ло (°91）Важно подчеркнуть, что сумма A, которая попадает в разные степени в выражении правой производной, точно равна приращению D *, которое появляется в приращении функции слева. Д/ ^ 0)= / * * 0| -сделаем/ 7(о). Чтобы упростить описание, ограничьте его функцией f (x, y) из 2 переменных. Предположим, что эта функция имеет непрерывные производные всех порядков вплоть до (η-[-1) го в окрестности некоторой точки (*»V0).

В последней форме выражение Тейлора также расширяется в случае функций для некоторых переменных (Коши). Людмила Фирмаль

Давайте дадим некоторые приращения dj0i ^ o ад? Используйте and__ для обеспечения того, чтобы прямые отрезки, соединяющие точки (g0,0) и (x0—Ax,^ | +Ду), не выходили за пределы рассматриваемой окрестности точки (:: y0). Необходимо доказать, что выполняется следующее равенство, в предположении о функции y). Д / с * о’. Йо ^ О-Го + Д . У0 + ый) -/ (о. йоу)= = г»）+ ^ ** /（•*»。Эй. +).. + я * » / (У0)44〜 («4 -» 1)Т ^ «+ 1 / С * О + 9 ВХ> г » + 9 АС) (5） (0 9 1）、 Кроме того, различия xx и yu, которые отображаются справа в различных степенях, точно равны приращению DD. Doo независимой переменной, которая генерирует приращение функции слева. Чтобы доказать это, введите и установите новую независимую переменную Х = Х9 + * топор, у = ИБ \ 1-Ас. (0 ^^ 1). (6）

Присваивая эти значения x и y функции f (x, y), вы получаете 1 переменную（： ^(0 = ф (+**ВХ, У0 + * ды). Формула с учетом (6) точек * Mo (*o. Yo)и W, (d0 + D *.Я знаю, что геометрические представления прямых сегментов, соединяющих (Yo + AU)Очевидно, не увеличивая. Д / c * 0> Е)= Ф (О+ —.Йо + ду)-/(* <>.Йоу.） Вы можете рассмотреть приращение вспомогательной функции. AP (0)= P (1) P (0）、 Потому что оба приращения равны. Однако P (() является функцией от 1 переменной и имеет производную от n \ 1.So, если применить ранее выведенную формулу Тейлора, то она выглядит так: Д-Р (0)= ^(1) П（0）= ^（0）+ 1 ^（0）+ … … + 1 ^(О)+ ^-т）[^（0）（0 <9 <1）、（7） В этом случае производная<#, которую вы вводите под разными углами справа, будет равна A (=-0 = 1).

Здесь мы воспользуемся тем, что линейная вариация переменной сохраняет свойство инвариантности формы даже для высших производных. Людмила Фирмаль

АП (0)= ф ’х(х0,_y0)-<1х + г(х0,у») ГГ = <7 /(л: 0,У0）、 (0)= Ф4(х0,У0) * & Х2 + 2/4(ХС У0） + / 4 (^ o. Y o) * AU * = » T9 / (KO. ЭЙ.) Наконец, для (n + 1) й производной это выглядит так: (/ Я + 1П (0)=(Уи /-)-6 для: У0 + дюйм2). Здесь важно отметить, что разница yx и yy ничем не отличается от ранее принятых ah и Du increments. In факт, I = 1、 ых-А. Х ’(я-Ах, c1y = Ау-(х = Ау. Подставляя все это в расширение (7), вы достигнете необходимого расширения(5). Читатель должен знать, что в дифференциальной форме выражение Тейлора для функции нескольких переменных имеет ту же простую форму, что и в функции 1 переменной, но гораздо более сложную в расширенной форме.

Дифференциалы высших порядков.	Экстремумы функции нескольких переменных.
Дифференциалы сложных функций.	Исследование стационарных точек (случай двух переменных).

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.