Однородные функции

Оглавление:

Однородные функции

Однородные функции. Как известно, многочлены, состоящие из членов одной размерности, называются однородными многочленами. Например, выражение Зло:9-2 ху + 5u9 Существуют однородные многочлены 2-го порядка. умножьте x и y на определенный коэффициент, и весь многочлен получит коэффициент I 2-го порядка.Например, если взять следующее выражение Икс ЮО * + г Затем, будучи похожими на однородные многочлены 2-го порядка в этой точке, мы также получаем коэффициент P, умножая его на оба аргумента x и y. It естественно называть такую функцию однородной функцией 2-го порядка. Указывает на общее определение.

Аналогичная ситуация существует и для однородных многочленов. Однако функции более сложной природы могут иметь те же характеристики. Людмила Фирмаль

Функция f (X|, xm) из m аргументов, определенных в области, называется однородной функцией KTH, если все аргументы умножаются на коэффициент I и получают те же коэффициенты, что и K-й порядок, то есть если они удовлетворяются одинаково. /(^ 1(хм)= * к-/(Си…. хм).(11） Для простоты здесь мы ограничиваемся предположением, что x%, xm и b принимают только положительные значения. Предполагается, что область для рассмотрения функции/содержит все точки вида, а также любую точку M (X1, Xm): М {(1×1,.(Xm) при *> 0, то есть весь луч, исходящий из начальной точки и проходящий через точку M） степень однородности k-любое вещественное число. Например, функция ХХ•$ 1П-+ г * * $ и X 1 * X Является однородной функцией порядка te для аргумента ha y.

Теперь попробуем получить общую формулу однородной функции порядка A. Во-первых, пусть/(xi xm) однородная функция нулевого порядка. И затем… /(^ 1> ^ х%,…, 1xm) \ / {, Х\, Х% > хD). /(Х \ У Х%> вопрос? М) Г ^ 1> КХЛ обман ’ш’ \ ХД) ’ Если вы наберете 1 =-、 m-ввод функции с 1 аргументом： 0 ^ 1″••• «^ t-1) Y0 «^ 1 „• * * “ ^ t-1）» Оказывается. /(*!。Икс * Поэтому все однородные функции нулевого порядка представляются в виде функций для отношений всех аргументов к одному из них. И затем / С * 1. Икс / (х \ 9 ХВ…»xm) является однородной функцией n-го порядка, так как отношение между x является однородной функцией нулевой степени, это доказано、 И наоборот, для функций/(, x, xm) .

Если это уравнение, то легко проверить, что оно является однородной функцией порядка k. поэтому мы получили общий вид однородной функции порядка k. икс> Пример Здесь мы предполагаем, что однородная(степень k) функция f (x, y9 e)) имеет непрерывный частный дифференциал для всех аргументов (открытой) области^.Базовая идентичность (II) фиксирует точки (x0, yo r0) произвольно. Что-нибудь. /(Л%, О’о’.1р )= 1к-/(ХЛ Е, Р). Здесь, как простая функция, мы различаем это равенство в соответствии с правилами дифференцирования левой части уравнения (комплексная функция*, правая сторона).Что взять： / *(Б ^ 0,(Ыб)-ВХ-\ ГУ(1xb,1yb(рН) йо + (У0, 1р$) Р0 = к -?1-/(хп, У0,Р0).

Если ввести здесь* = 1, то получится следующая формула: / х (хо> УО> Йоу * о) е + + / ЛК, в v0,Р0) Р0 = к-/(х0, начиная с версии v0, Р0). Таким образом, для любой точки (x} y, r) уравнение fx (x, y, r)-x + fy (x, y, r)-y + l2 (x, y, d)-r = b-/(x, y, r). (12） Это равенство называется формулой Эйлера. * ) Чтобы упростить описание, здесь мы ограничимся случаем 3 переменных. * Предположение о непрерывности частной производной состоит именно в том, чтобы получить право применять это правило[n * 140]. Мы обнаружили, что однородная функция, следующая за A с непрерывным частным дифференциалом, удовлетворяет этому уравнению. Верно и обратное.

Поскольку обратное также очевидно, предыдущее уравнение дает общее выражение однородной функции нулевого порядка. Людмила Фирмаль

Каждая функция, смежная с частной производной и удовлетворяющая уравнению Эйлера (12), неизбежно может указывать на то, что она является однородной функцией, следующей за k. Замечания. Эйлер дифференциального исчисления рассматривает только однородные выражения определенного типа-целые, дробные, радикальные и их комбинации, которые не дают общего определения. Однако, выводя выражение со своим именем, он исходит из представления однородной функции в виде произведения 1 степени аргумента на функцию из других отношений.

Инвариантность формы (первого) дифференциала.	Производные высших порядков.
Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.	Теоремы о смешанных производных.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.