Оглавление:
О решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более сложные задачи, связанные с изгибом, например, продольно-поперечный нжгнб, изгиб балок на упругом основании, поперечные колебания балок, представляют собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами более
сложной формы, чем уравнение (116.4) сложность интегрирования этих уравнений состоит в том, что правая часть является функцией z с различными аналитическими формулами в разных местах. Для Nshmba пучком, А. Н. Крылов подробно. Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение Порядка N с постоянным коэффициентом g+++=(123.1), возьмем любую систему
коэффициентов, независимую от линейной. Сделай «o>•• * >» n-1 построить новую Людмила Фирмаль
систему частичных решений задач с их свойствами из них ^(0)=и(0)=.. . =И n_.) (0)=0,t/lft) (0)=l. (123.2) это всегда возможно. Для этого нужно взять линейную комбинацию частичных решений.(-: UK=S S Zs=0 Коэффициент skj, W1,.. . , p_, находим из уравнения:^ — ckau o (0) 4-cm и 1 + • • • + Ckn-IU n-1 (0)>o= = CaO » o (°) +C от L(0) + • • • + (0). (123.3) 1-Saom»A) (°) +S I1A) (°) + * • • 4″ «в p-1M» −1 определителем этой системы
является определитель Вронского системы функций I0.. . «»! 2’=0 отличается от нуля из-за линейной независимости функций C0, C,,.. . Это отличное место для начала. Таким образом, всегда можно найти коэффициент SK1 и фактически построить функцию Uk (z). Образуют систему таких частных решений: U^z), U^z).. . А, у»(з). Каждая из этих функций имеет свойство (123.2). Мы делаем вариант 264 в изгибе[CH. Икс В следующей таблице приведены начальные
- значения функции и ее производных: И(0) U>(0)SG «(O) U’»(0) Один. Ноль. Ноль. Ноль. IG0 1 0 0 значения i0 0 1 0 Все ячейки в этой таблице имеют нуль, только на главной диагонали. Итак, система подрешений уравнения (123.1)называется системой с тождественной матрицей. Общий Интеграл уравнения (123.1) именно с помощью этой системы подрешений, где линейная независимость найдена от того, что определитель Вронского z=0 является определителем матрицы тождества, следовательно, I(d)=C0£ / 0 (d) 4-O D (d) 4-O.. 4-С», Т/ » _1(г). Давайте теперь решим неоднородное уравнение£ ( » ) = / ( * ). (123.4) Докажем следующую теорему: Интеграл уравнения (123.4),
исчезающий с его производной для степени n-1, включая z=1, задается уравнением г -Я не уверен, — сказал он. — D g-W W W W и W. о (123.5) Формула (123.4) предполагает, что коэффициенты высшей производной равны единице. Вычислить последовательные производные функции и(D). Здесь g следует известной теореме анализа, поскольку она является как верхним пределом интеграла, так и параметром г «’(0)/(З) 4-,(г-г)/(Б). Ноль. Но для специального выбора функций Uk (g), c _1 (0)=0. Продолжая процесс дифференцирования, g (I)=-5^. g)/(6) 4§ 123]
для решения линейного дифференциального уравнения 265 И так далее, вплоть Людмила Фирмаль
до производных порядка L-1 включительно. Я же производственного заказа. » «<Я>(Я)=>(0)/(г)+ю^л(з-г)/(г)ДГ 0 И Здесь мы подставляем все последовательные производные функции и подставляем(d) в уравнение (123.4). Благодаря постоянству коэффициента Под интегралом получается такая же комбинация производных функции Un_x (g), как и оператор£(»). Учитывая, что коэффициент и (n>один, получаем: г <& +/() = = /(*). Отчет Но поскольку Un_x является решением уравнения(123.1), L (U n_l} — Q, мы получили тождество для доказательства теоремы. Формула (123.5) дает не конкретное решение формулы (123.4), а решение, которое исчезает вместе с производной для порядка l—1, содержащей g=1. Это является большим преимуществом полученного решения, которое упрощает
определение констант из начальных условий. Общий Интеграл уравнения (123.4) может быть выражен следующим образом: a (z)=Ce<7e (z) — \ — C xUx (z) -)- • • • 4 — C n-j^n-i ( * ) 4″g Отчет Постоянная C » C,,.. . И CN имеет очень четкий смысл. Конечно, поставьте d=0. Возьми: а(0)=С,. В правой части U[k) (0)=1, поэтому все члены, кроме тех, которые содержат простые множители, исчезнут. Получаем: «<*>(0) = CA. И так оно и есть., Д-1-2 У (з}==(0)Великобритания(з)+$Un_t(з-Г)/А) Д т.(123.6)Т=o266 изгибных
деформаций[ГЛ. Икс Формула(123.6) представляет собой общее интегрирование линейных дифференциальных уравнений с правой частью наиболее удобной для применения формы. Это начальные значения искомой функции и ее производной (d=0). Так, на основе уравнения (123.6) метод интегрирования дифференциальных уравнений, широко применяемый в сопротивлении материалов и строительной механике, называется методом начальных параметров. А. Н. метод начальных параметров разрабатывался многими советскими авторами, применяясь не только к балкам,
но и к пластинам и оболочкам. В качестве примера рассмотрим уже изученное нами уравнение (116.4): Соответствующее однородное уравнение имеет вид v » — 0. Это конкретное решение с матрицей идентичности является УБ = з. Конечно, УО(0) = 1, £70 (0) = O, C(0)=O, (0)-1. По формуле (123.6)) Зет = = = = = = Л+®’(О) З+ю -^) -^^. (123.7) Отчет По теореме Коши зет ГГ Примерно от 0 до 0 Таким образом, выражение (123.7) будет буквально соответствовать непосредственно найденному выражению(118.2).
Смотрите также:
| Расчет статически неопределимых балок по способу допускаемых нагрузок | Продольно-поперечный изгиб |
| Изгиб стержней переменного сечения. Графоаналитический метод | Изгиб балки на упругом основании |
