Системы уравнений используемых в эконометрике
В предыдущих параграфах рассмотрено моделирование экономических взаимосвязей одним уравнением. Однако, некоторые экономические процессы моделируется не одним, а несколькими уравнениями, содержащие как повторяющиеся, так и собственные переменные, описывающие многосторонние реальные взаимоотношения между экономическими показателями. В одних уравнениях определенная переменная рассматривается как факторный признак, а в другое уравнение эта переменная входит как результативный признак. Поскольку отдельные уравнения системы не могут рассматриваться изолированно друг от друга, то и деление переменных на зависимую и независимые теряет смысл. При рассмотрении систем эконометрических уравнений различают следующие переменные:
эндогенные — это переменные, являющиеся экономическими факторами, которые описываются уравнениями модели, их значения зависят от внутренней структуры моделируемого экономического процесса;
экзогенные, являющимися внешними наперед заданными экономическими величинами независимо от структуры модели, т. е. они задаются извне и объясняются экономическими факторами и закономерностями, находящимися за границами модели. Экзогенные переменные определяют эндогенные, но не находятся под их влиянием, т.е. между ними существуют только односторонние стохастические связи.
- предопределенные — переменные, значения которых отстают на один или несколько периодов, т.е. лаговые переменные. Лаговыми переменными могут быть: а) обычные экзогенные переменные, так как они определяются вне модели; б) лаговые экзогенные переменные, так как их значения принадлежат предшествующим периодам и определяются вне модели; в) лаговые эндогенные переменные, так как они определяются из предшествующей модели. Лаговые переменные можно отнести к заранее заданным экзогенным.
- совместно — зависимые переменные — это эндогенные переменные, которые определяются моделью, так как между ними существуют многосторонние связи, и они определяются не одним уравнением, а системой уравнений;
- возмущающие, или латентные переменные — это экономические факторы, не входящие в уравнения системы, но оказывающие влияние на совместно зависимые переменные, которые формируются за счет случайных влияний и ошибок, допущенных при построении модели.
Эконометрическая модель может быть представлена системами различных видов в зависимости от цели и задач исследования.
Структурная модель, записанная в матричном виде:
где 
и 
прямоугольные матрицы, а 
— матрицы — столбцы:
Структурная форма модели содержит всю существенную информацию об односторонних и многосторонних стохастических отношениях между экономическими факторами. Уравнения, составляющие эту модель, называются структурными уравнениями.
Если в структурной модели матрица имеет треугольный вид:
то соответствующая модель называется рекурсивной моделью. Структурная модель, записанная в виде:
где 
— обратная матрица для матрицы , называется приведенной формой модели. В приведенной форме модели совместно зависимые переменные являются линейными функциями от предопределенных и возмущающих переменных.
Если модель состоит только из уравнений, в каждом из которых только одна эндогенная переменная выражается через экзогенные переменные, то она называется системой независимых уравнений. Рассмотрим примеры некоторых моделей. 1. Модель «Спрос — предложение».
Система одновременных уравнений используется при моделировании спроса — предложения в рыночных условиях. Предполагая, что спрос 
и предложение 
в любой момент времени 
являются линейными функциями, получаем следующую систему:
Уравнение (6.1) определяет функцию спроса, (6.2) — функцию предложения, (6.3) — условие равновесия. Наличие в уравнениях случайных отклонений 
и 
, связано с отсутствием ряда важных факторных признаков: дохода, цен сопутствующих товаров, налогов, цен на ресурсы и т. п. Модель (6.1) — (6.3) может быть усовершенствована введением новых факторных признаков. В данной модели «спрос — предложение», переменные спроса 
предложения и цена 
— эндогенные, так как определяются из решения модели. 2. Кейнсианская модель формирования доходов.
Простейшая кейнсианская модель формирования доходов в предположении, что рассматривается закрытая экономика без государственных расходов, описывается системой одновременных уравнений вида:
Уравнение (6.4) описывает функцию потребления. (6.5) макроэкономическое тождество. Переменные 
— значения совокупного выпуска (ВНП) 
объема потребления 
и инвестиций 
в момент времени 
соответственно.
В кейнсианской модели формирования доходов, переменные 
и 
— эндогенные, а переменная 
— экзогенная, поскольку определяется вне модели, и считается заранее заданной. Если подставить из (6.5) в (6.4), то обе переменные и можно выразить через экзогенную переменную :
Коэффициент 
в (6.7) называется денежным мультипликатором, определяющим, на какую величину увеличивается совокупный доход при увеличении объема инвестиций на единицу, а коэффициент 
мультипликатором потребления, определяющим величину увеличения потребления при увеличении объема инвестиций на единицу.
- Модель IS-LM.
Простейшая модель равновесия на рынке товаров описывается системой одновременных уравнений вида:
Функция потребления: 
Функция налогов: 
Функция инвестиций: 
Располагаемый доход: 
Государственные расходы: 
Макроэкономическое тождество: 
Переменные 
в модели, описывают значения в момент времени национального дохода , потребления , желаемого объема чистых инвестиций , государственных расходов 
(в данной модели расходы постоянные величины 
), объема налогов 
, располагаемого дохода 
процентной ставки 
. Подставим (6.9) в (6.11) и полученный результат в (6.8). После упрощения, результат и (6.10), (6.12) подставим в (6.13). В результате получим уравнение кривой IS:
где
определяющей соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором рынок товаров находится в равновесии.
Линия равновесия на рынке денег (линия LM) определяет такое соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором спрос на деньги равен их предложению. Одна из форм модели определяется следующей системой одновременных уравнений:
Функция спроса на деньги: 
Функция предложения денег: 
Условие равновесия: 
Разрешив (6.14) относительно уг и воспользовавшись (6.15), (6.16), получим уравнение линии LM:
Точка пересечения кривых IS и LM определяет соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором оба рынка находятся в состоянии равновесия. Эта точка находится из решения системы уравнений:
Структурные уравнения модели можно подразделить на поведенческие уравнения и уравнения — тождества. В поведенческих уравнениях описываются зависимости между переменными, а в уравнениях — тождествах соотношения, которые должны выполняться во всех случаях. Тождества не содержат подлежащие оценке параметры и случайные составляющие.
Уравнения, в которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределенные переменные, а также случайные составляющие, называются приведенными уравнениями (уравнениями в приведенной форме). Предопределенными переменными называются лаговые эндогенные переменные, значения которых определены до рассмотрения уравнений. Например, уравнение спроса в модели «спрос — предложение» может быть представлено в виде:
где переменная 
, характеризующая цену товара в предыдущий момент времени, является предопределенной переменной.
Эта лекция взята со страницы предмета «Эконометрика»
Предмет эконометрика: полный курс лекций
Эти страницы возможно вам будут полезны:
