Основные методы интегрирования в математике

Оглавление:

Основные методы интегрирования

Метод разложения

Основан на разложении подынтегральной функции на сумму двух или нескольких функций. Применяется, если интегралы от слагаемых являются табличными или известен метод их нахождения.

Пример:

Найти неопределенный интеграл методом разложения

Основные методы интегрирования в математике

► Используя свойства неопределенного интеграла, представим исходный интеграл в виде суммы интегралов:

После преобразования подынтегральных функций к табличному виду получим сумму интегралов от степенных функций:

Метод замены переменной

Суть метода замены переменной или подстановки состоит в том, чтобы некоторую часть подынтегральной функции обозначить новой переменной и, используя эту новую переменную, выразить через нее все остальные части подынтегрального выражения. Данный метод позволяет существенно упростить исходный интеграл и свести его к табличному интегралу. В общем виде этот метод можно описать формулой:

где функция Основные методы интегрирования в математике имеет непрерывную производную.

В частности, если интеграл отличается от «табличного» только аргументом подынтегральной функции, который имеет вид Основные методы интегрирования в математике , то за новую переменную следует принять этот аргумент: Тогда будет справедливо следующее правило:

Отметим, что метод замены переменной является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменной.

Пример:

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной

► Заметим, что множитель Основные методы интегрирования в математике с точностью до постоянного коэффициента представляет собой производную аргумента показательной функции. Поэтому, используя замену переменной вида

вычислим ее дифференциал

и выполним их подстановку в подынтегральное выражение:

В результате замены переменной получаем табличный интеграл (см. приложение В.12). После нахождения первообразной произведем обратную замену переменной Основные методы интегрирования в математике :

Метод интегрирования по частям

Пусть функции

имеют непрерывные производные, тогда выражение

описывает формулу интегрирования по частям. Эта формула применяется, если интеграл Основные методы интегрирования в математике более прост для интегрирования, чем В качестве примера приведем наиболее типичные случаи:

Здесь за Основные методы интегрирования в математике следует обозначить многочлен -ой степени

В этом случае за Основные методы интегрирования в математике следует обозначить .

Пример:

Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям

► Прежде чем приступать к интегрированию заметим, что подынтегральная функция является нечетной, следовательно, заданный интеграл можно записать в виде

Далее в соответствии с формулой интегрирования по частям положим:

Дифференцируя функцию Основные методы интегрирования в математике и интегрируя дифференциал функции получим:

Заметим, что в последнем интеграле числитель дроби Основные методы интегрирования в математике с точностью до постоянного множителя является производной знаменателя . Выполним замену переменной. Пусть , тогда и искомый интеграл может быть записан в виде: