Оглавление:
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

где — заданные коэффициенты. Рациональная дробь называется правильной, если
и неправильной, если
.
Интегрирование простейших рациональных дробей. Различают 4 типа простейших рациональных дробей:
- Интегрирование простейшей рациональной дроби I типа выполняется по формуле:

Интегрирование простейшей рациональной дроби II типа выполняется по формуле:

Интегрирование простейшей рациональной дроби III типа

уже было описано в предыдущем разделе.
- Интегрирование простейшей рациональной дроби IV типа

описано в рекомендуемой литературе (см. соответствующие разделы в |1, 3, 6]).
Заметим, что достаточно рассмотреть лишь правильные дроби, так как любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, используя алгоритм деления многочленов «уголком». Полученный при этом интеграл
вычисляется методом разложения.
Чтобы вычислить интеграл от правильной рациональной дроби подынтегральную функцию нужно представить в виде простейших рациональных дробей и проинтегрировать по отдельности.
Для этого знаменатель дроби должен быть представлен в виде произведения линейных и (или) квадратичных множителей, например:

где — корни многочлена,
— известные действительные числа, трехчлен
не имеет действительных корней, а
Тогда дробь

представляется в виде суммы простейших дробей:

где — неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к
.
Пример:
Найти неопределенный интеграл методом разложения рациональной дроби на простейшие

► Для интегрирования правильной рациональной дроби выполним вначале ее разложение на простейшие методом неопределенных коэффициентов. С учетом множителей, стоящих в знаменателе исходной дроби, ее разложение будет содержать простейшие дроби I и III типов:

Для нахождения неопределенных коэффициентов выполним сложение простейших дробей и проведем группировку полученного числителя по степеням переменной :

Из равенства заданной и полученной дробей с одинаковыми знаменателями следует равенство их числителей:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , составим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов
и
:

Решив полученную систему, найдем значения неопределенных коэффициентов:

Тогда искомое разложение примет вид

Используя полученное разложение, исходный интеграл может быть записан в виде суммы интегралов от простейших рациональных дробей

Интегрирование простейшей рациональной дроби I типа легко выполняется после замены переменной :

Для интегрирования простейшей рациональной дроби III типа запишем интеграл в виде суммы двух интегралов:

Второе слагаемое представляет собой табличный интеграл (см. приложение В.12)

а первое слагаемое легко приводится к табличному виду с помощью замены переменной :


Объединяя полученные результаты, искомый интеграл можно записать в виде:

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Основные методы интегрирования в математике |
Интегрирование некоторых классов функций в математике |
Интегрирование иррациональных функций в математике |
Понятие определенного интеграла в математике |