Оглавление:
Производная по направлению и градиент
Пусть функция 
определена в области 
. содержащей точку 
. Зададим некоторое направление 
косинусами углов 
и 
, образованных лучом с осями 
и 
. При перемещении в направлении точки в точку
функция получит приращение
Обозначим через 
— величину перемещения точки 
(см. рис. 5.3). Тогда, под производной 
функции в заданном направлении понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения, когда последнее стремится к нулю:
Величина производной ответствует скорости изменения функции 
в направлении . Формула для вычисления производной функции в заданном направлении имеет вид
Очевидно, что частные производные 
и 
представляют производные по направлениям, параллельным осям и соответственно.
Градиентом функции 
называется вектор с координатами 
. Рассмотрим скалярное произведение векторов и единичного вектора 
:
Сравнивая последнюю формулу с формулой производной по направлению, делаем вывод, что производная по направлению есть скалярное произведение вектора градиента 
и единичного вектора, задающего направление :
Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они сонаправлены. Следовательно, градиент функции в данной точке соответствует направлению максимальной скорости изменения функции в этой точке. Можно доказать, что градиент функции в данной точке перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку.
Пример:
Задана функция 
и координаты двух точек на плоскости:
Требуется определить направление максимальной скорости изменения функции в точке 
и скорость изменения функции в направлении вектора 
в этой точке. Построить единичные векторы градиента функции и направления в точке в системе координат 
.
► 1. Используя таблицу основных производных и правила дифференцирования сложной функции, найдем частные производные первого порядка 
и 
для указанной функции:
Вычислим значения частных производных в точке (—4; —1):
Направление максимальной скорости изменения функции двух переменных задается вектором градиента . Так как значения частных производных в точке уже вычислены в предыдущем пункте, то можем записать искомый вектор:
Для вычисления единичного вектора 
, сонаправленного с вектором 
разделим координаты вектора градиента на его модуль в этой точке:
- Скорость изменения функции
в направлении вектора 
определяется ее производной в указанном направлении 
:
где и — направляющие косинусы вектора равные:
Таким образом
Единичный вектор 
в направлении имеет приближенное значение:
В результате, скорость изменения функции в направлении в точке составит:
Вывод: Направление вектора и направление максимальной скорости изменения функции 
в точке не совпадают:
Следовательно, скорость изменения функции 
в точке в направлении вектора не является максимальной.
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
