Определение производной функции
Пусть функция 
определена на некотором интервале значений аргумента 
. Дадим аргументу 
приращение 
такое, что 
и найдем соответствующее приращение функции:
Если существует предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента , при произвольном стремлении последнего к нулю
то он называется производной функции в точке 
и обозначается как:
Если функция имеет в некоторой точке производную, то говорят, что функция дифференцируема в этой точке. Заметим, что дифференцируемость функции в точке является достаточным условием для ее непрерывности в этой же точке, в то время как обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, функция 
непрерывна в точке 
, но не дифференцируема в ней.
Геометрический смысл производной. Производная функции в точке 
равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке:
где 
— угол наклона касательной к графику функции в данной точке.
Тогда уравнение касательной к графику функции в точке будет иметь вид
Пример взаимного расположения секущей и касательной к графику функции в точке показан на рис. 4.1.
Экономический смысл производной. Предположим, что известна зависимость издержек производства 
однородной продукции от ее количества . Приращению количества производимой продукции соответствует приращение издержек производства 
. Среднее приращение издержек производства характеризуется отношением 
Тогда, если существует предел этого отношения
то его называют предельными издержками производства. С помощью понятия производной в экономике характеризуют и другие предельные понятия.
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Непрерывность функции в математике |
| Асимптоты графика функции в математике |
| Производные основных элементарных функций в математике |
| Дифференциал функции в математике |
