Обратная функция

Обратная функция

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений . Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения и множеством значений . Такая функция называется обратной к функции и записывается в виде: . О функциях и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно , если это возможно.

Пример 1.4.

Для функции обратной функцией является функция .

Пример 1.5.

Для функции , обратной функцией является . Заметим, что для функции , заданной на отрезке , обратной не существует, так как одному значению соответствуют два значения : если , то , .

Из определения обратной функции следует, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т. е. их графики совпадают. Если же условиться, что независимую переменную обозначить через , а зависимую переменную через , то функция обратная функции запишется в виде .

Это означает, что точка кривой становится точкой кривой . Заметим, что точки симметричны относительно прямой . Поэтому графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Способы задания функций с примерами

Основные характеристики функции

Сложная функция с примером

Основные элементарные функции и их графики с примером