Оглавление:
Приступая к изучению этой темы, необходимо усвоить определение и основные свойства определенного интеграла.
При вычислении определенного интеграла используют формулу Ньютона — Лейбница
где 
— любая первообразная функция 
.
Методы вычисления определенных интегралов
1. Замена переменной осуществляется по формуле
где 
.
Эта формула справедлива, если — непрерывная функция, а подстановка 
сама непрерывна на отрезке 
. Подчеркнем, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной, в отличие от неопределенного интеграла, возврат к старой переменной не требуется.
2. Интегрирование по частям
Если функции 
и 
имеют непрерывные производные на 
, то справедлива формула
где символ 
обозначает разность 
.
Приложения определенного интеграла
В этой теме предусмотрено применение определенного интеграла для вычисления площадей различных фигур, объемов тел вращения, длин кривых, работы и силы давления.
Вычисление площади в прямоугольных координатах
а) Если непрерывная кривая задана уравнением 
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми 
и осью 
(рис. 22), вычисляется по формуле
б) Если криволинейная трапеция ограничена непрерывными кривыми 
, причем 
, и прямыми , то ее площадь вычисляется по формуле 
(рис. 23).
В отдельных случаях какая-либо граница 
и 
может выродиться в точку пересечения кривых (рис. 24).
Параметрически заданная кривая 
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми и осью , выражается интегралом
где 
определяются из уравнений 
и 
.
Вычисление площади в полярных координатах
Если кривая задана уравнением в полярных координатах 
, то площадь криволинейного сектора 
(рис. 25) вычисляется по формуле
Объем тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
, осью и прямыми (см. рис. 22), вычисляется по формуле 
.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной кривой 
, осью ординат и прямыми 
(рис. 26), вычисляются по формуле
Если задана параметрическими уравнениями 
, то формула принимает вид
где 
и 
находятся из уравнений , .
Длина плоских кривых
Если плоская кривая задана уравнением 
и производная 
непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом
где 
и 
— абсциссы концов дуги.
1. Если кривая задана уравнениями вида 
, то
где 
и 
— ординаты концов дуги.
2. Если кривая задана в параметрической форме и производные 
непрерывны на отрезке 
, то длина дуги кривой выражается интегралом
где — значения параметра 
, соответствующие концам дуги 
.
3. Если гладкая кривая задана уравнением (см. рис. 25) в полярных координатах, то длина дуги 
кривой выражается интегралом
где 
и 
— значения полярного угла 
в концах дуги 
.
Физическое приложение
1) Общая схема применения определенного интеграла
Пусть требуется найти некоторую физическую величину 
, имеющую определенное значение на отрезке 
. Предполагается, что является аддитивной величиной, т. е. если отрезок делится на части, то величина складывается из суммы значений , соответствующих этим частям. Из условия задачи находят «элемент» 
величины , отвечающий «элементарному» промежутку 
в виде 
. После этого, интегрируя по отрезку , получают величину 
.
2) Путь, пройденный точкой.
Пусть точка движется по прямой с переменной скоростью 
. Определить путь, пройденный точкой от момента времени до момента .
Решение:
За элементарный промежуток времени 
точка пройдет путь
, где 
— «элемент пути» и 
.
3)Работа силы.
Пусть материальная точка движется вдоль оси от точки до точки под действием переменной силы 
, причем направление силы совпадает с направлением движения. Найти работу, произведенную силой при этом перемещении.
Решение:
На элементарном перемещении работа силы равна 
. Мы получили «элементарную» работу 
, 
.
4) Сила давления жидкости на пластину выражается формулой
где 
— глубина, на которой находится самая верхняя точка пластинки; 
— глубина, на которой находится самая нижняя ее точка; 
— удельная плотность жидкости; 
— ускорение свободного падения; 
— расстояние точек пластинки до уровня жидкости; 
— длина горизонтального сечения пластинки (это неизвестная функция, зависящая от формы пластинки).
Пример 1.
Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями
Решение:
Построим данную фигуру: 
— гипербола, 
— прямая (рис. 27).
Найдем абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы, решив систему уравнений 
Искомая площадь равна:
Ответ: 
Пример 2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение:
Уравнения в полярных координатах 
и 
являются окружностями (рис. 28). Кривые, заданные в полярных координатах, можно строить по точкам с помощью ЭВМ. Основные кривые рассматриваются в предлагаемой литературе.
Очевидно, что 
. Площадь криволинейного сектора можно найти по формуле 
.
Уравнение луча 
.
Ответ: 
.
Пример 3.
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболами 
и 
.
Решение:
Очевидно, что 
, где 
— объем тела, полученный вращением трапеции 
, 
— объем тела, полученный вращением трапеции 
(рис. 29).
Найдем ординаты точек пересечения парабол:
Уравнение параболы (кривая 
) запишем в виде 
, тогда
Следовательно, 
.
Ответ: 
.
Пример 4.
Вычислить объем тела, которое получается от вращения фигуры, ограниченной кардиоидой 
вокруг полярной оси.
Решение:
Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси (она же и полярная ось) фигуры 
и 
(рис. 30).
Перейдем к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол : 
.
Очевидно, что абсцисса точки 
равна 
(значение при 
). Абсцисса точки 
есть значение минимума функции 
.
Найдем этот минимум: 
, 
, 
и 
. При 
, при 
получаем 
.
Координаты точки 
. Следовательно, искомый объем
Ответ: 
.
Пример 5.
Найти силу давления, испытываемую пластиной с одной стороны в форме полукруга радиуса 
, погруженного в жидкость так, что диаметр совпадает с поверхностью жидкости.
Решение:
Вычислим силу давления, испытываемую «элементом» пластины 
на глубине 
:
где — площадь элемента пластины (рис. 31), 
.
Из 
по теореме Пифагора находим:
Тогда 
Вычислим силу давления на пластину:
Ответ: 
.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
