Наибольшее ( наименьшее) значения непрерывной и дифференцируемой функции y=f(x) на отрезке [a,b]

Наибольшее ( наименьшее) значения непрерывной и дифференцируемой функции на отрезке

1. Находим критические точки, принадлежащие отрезку.
2. Находим значения функции в полученных точках и на концах отрезка.

Среди полученных значений выбираем наибольшее ( наименьшее).

Наибольшее ( наименьшее ) значение функции на интервале

При вычислении наибольшего ( наименьшего ) значения функции на интервале мы не можем вычислить значения функции на концах, поэтому часто используют теорему Ферма: если функция на интервале имеет единственный максимум (минимум), то он совпадает с наибольшим ( наименьшим) значением функции на этом интервале.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , где .

Решение:

Заметим, что непрерывна и дифференцируема на данном отрезке. Вычисления дают:

1) (обе точки лежат внутри данного промежутка).

2) Находим .

3) Вычисляем значения функции на концах промежутка:

4) В итоге имеем:

— точка минимума функции, а точкой экстремума не является.

На промежутке функция убывает, а на промежутке функция возрастает.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Производная функции, заданной в неявном виде

Монотонность и экстремумы функции

Теоремы о среднем: Лагранжа, Ролля, Коши

Построение графиков функций: схема, определение и примеры с решением