Курсовая работа на тему: решение уравнений большой степени

Оглавление:

«Большой степенью» мы, в соответствии с традицией, называем степень больше двух. Если степень многочлена больше четырех, то мы будем называть ее «очень большой степенью». Задача этой лекции — рассказать о том, как решаются уравнения большой степени. Но перед этим мы должны сформулировать результат, который, несмотря на свою привычность, остается непростым. Основная теорема алгебры: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Следствие. Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно (комплексных) корней с учётом их кратности.

Более привычной является следующая формулировка основной теоремы.

Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

Замечание 1. Если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и комплексно-сопряженный корень .

Замечание 2. Всякий многочлен с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень.

Две следующие теоремы имеют непосредственное отношение к теме:

Теорема Безу. Если многочлен имеет корень , то является его множителем (многочлен делится на ).

Другими словами, если , то многочлен делится на .

Следствие. Остаток от деления многочлена на равен .

Теорема Виета. Если многочлен имеет корни , (комплексные, каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность), то

Следствие. (Формулы Виета). Справедливы равенства

всевозможные попарные произведения

всевозможные произведения по три

Замечание 3. Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует квадратичная функция , где .

Пример 1.

. Здесь .

Пример 2.

Написать многочлен, корнями которого являются числа .

Решение:

Воспользовавшись замечанием 3, запишем две квадратичные функции: , ; , . Таким образом, .

Ответ: .

Решение кубических уравнений.

Кубическим уравнением общего вида называется уравнение . Разделив обе части равенства на , получим

приведенное уравнение

Нашей задачей является решение этого уравнения в вещественной области, то есть нахождение всех вещественных корней. На первых шагах мы преобразуем его к более удобному и простому виду.

Шаг 1. Приведение к «неполному виду»: . Сделаем в приведенном уравнении замену , где — некоторое число, которое нам предстоит определить. Подставив в уравнение, получим . Положив , , мы и получим уравнение нужного нам вида, а именно,

неполное уравнение

Пример 3.

Уравнение после замены приводится к виду .

Частный случай. Если , то уравнение имеет единственное вещественное решение .

В дальнейшем будем предполагать, что .

Шаг 2. Приведение к «нормальной форме»: , где равно 3 или —3. В уравнении сделаем замену , где — некоторое число, которое нам предстоит определить. Подставив в уравнение, получим . Положим

Теорема 1. Кубическое уравнение заменой водится к нормальной форме вида при или при . При этом в обоих случаях .

Пример 4.

Уравнение после замены приводится к виду .

Шаг 3. Решение уравнения . Сделаем еще одну замену: . После подстановки в уравнение получим: , где . Получившееся квадратное уравнение имеет корни , которые удовлетворяют условию .

Обозначим . Поскольку числа и равны, следовательно, решение уравнения имеет вид

Пример 5.

Уравнение имеет единственное вещественное решение

Шаг 4. Решение уравнения . Сделаем замену: . После подстановки в уравнение получим: , где . Получившееся квадратное уравнение имеет корни .

Обозначим . Поскольку числа и равны, следовательно, решение уравнения имеет вид

Пример 6.

Уравнение имеет единственное вещественное решение

Частные случаи:

Шаг 5. Решение уравнения .

В этом случае замена имеет вид . Воспользовавшись формулой косинуса тройного угла () получим, что .

Обозначим . Тогда

Таким образом, мы имеем шесть значений:

Однако, из свойств косинуса следует, что . Также несложно проверить, что поскольку , числа и из различны. Они и составляют набор из трех корней уравнения.

Пример 7.

Уравнение . Здесь

Решение уравнений четвертой степени.

Уравнением четвертой степени общего вида называется уравнение . Разделив обе части равенства на и обозначая для удобства , получим

приведенное уравнение специального вида

Шаг 1. Приведение к «неполному виду»: . Сделаем замену : . После приведения подобных членов получим неполное уравнение , где

Пример 8.

Уравнение после замены приводится к виду .

Частный случай. Если , то уравнение является биквадратным и решается заменой .

В дальнейшем будем предполагать, что .

Шаг 2. Разложение на квадратичные множители. Каждый многочлен четвертой степени можно представить в виде произведения двух квадратичных. Мы покажем это для нашего случая «де факто», а именно, покажем, что найдутся вещественные числа такие, что

Для этих чисел должны выполняться равенства

Шаг 3. Решение вспомогательного кубического уравнения. Обозначим . Последнее уравнение системы 7 является кубическим относительно . Назовем его вспомогательным кубическим уравнением:

Заметим, что это уравнение всегда имеет положительный корень, поскольку при левая часть отрицательна, а при достаточно большом она положительна. Обозначим этот корень через . Тогда , а коэффициенты и находятся по формулам 7. Таким образом, разложение 6 получено.