Предел функции. Непрерывность

Определение предела последовательности можно считать частным случаем определения предела функции на бесконечности (при , стремящемся к ), поскольку значения образуют последовательность, которая тем более будет стремиться к , если .

Число называется пределом функции при , если

При этом, разумеется, естественно считать, что имеет смысл говорить о том, что стремится к бесконечности, лишь когда область определения не является ограниченным множеством. Прежде чем перейти к случаю, когда стремится к конечному числу, введем несколько вспомогательных понятий.

Замыкание множества.

Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку , или любое множество, содержащее такой интервал, -окрестностью точки называется интервал . Проколотой окрестностью точки называется окрестность без самой точки, то есть множество .

Пусть . Будем говорить, что точка является точкой сгущения, или предельной точкой, множества , если в любом интервале (), содержащем точку , найдется хотя бы одна другая точка множества . Если точка множества не является точкой сгущения этого множества, то она называется изолированной. Объединение множества и множества его точек сгущения называется замыканием множества и обозначается через . Для множества точек сгущения нет специального обозначения, но это множество получится, если из замыкания множества выкинуть все изолированные точки. Говорят также, что бесконечность является предельной точкой множества , если не является ограниченным.

Если некоторая точка не является предельной для области определения функции, то в ней понятие предела этой функции не имеет смысла.

Пример 1.

Пусть: , , . Тогда: , . При этом множество точек сгущения множества совпадает с . Для , и множество точек сгущения совпадает с их замыканиями. Бесконечность является предельной точкой для множеств , и .

Предел функции. Пусть — точка сгущения множества .

Число называется пределом функции при , если

Число является пределом функции при (пределом функции справа), если

Аналогично определяется предел функции слева и на бесконечности.

Число называется пределом функции при (пределом функции слева), если

Говорят, что функция стремится к + бесконечности при , если

Теорема об арифметических операциях с пределами. Если функции и имеют предел в точке хо, то функции , , также имеют предел, причем:

Все то же самое верно и для отношения , но при дополнительном предположении, что .

Дробно-рациональной функцией называется функция вида , где , .

Теорема о дробно-рациональной функции.

Пусть . Тогда: если , то ;

если , то ;

если , то .

Пусть . Тогда: если , то ;

если , то .

Пример 2.

Теорема о переходе к пределу в неравенстве. Если функции и имеют предел в некоторой точке и в какой-либо окрестности этой точки, то в этой точке .

Теорема о сжатой функции. Пусть три функции , и в некоторой окрестности точки удовлетворяют неравенствам . Если функции и имеют предел в этой точке и при этом , то функция также имеет предел и .

Ограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие.

Функция называется бесконечно малой в точке , если при .

Функция называется ограниченной на интервале (), если такое, что верно неравенство .

Функция называется ограниченной в окрестности точки , если существует интервал, содержащий точку , такой, что ограничена на этом интервале.

Утверждение. Произведение функции, бесконечно малой в некоторой точке, на ограниченную в окрестности этой же точки есть бесконечно малая в этой точке функция.

Функция называется бесконечно большой в точке , если при .

Утверждение. Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая. Если ограниченную разделить на бесконечно большую, то получится бесконечно малая.

Примеры бесконечно малых функций:

при ;

при ;

при .

Примеры бесконечно больших функций:

Эквивалентные функции.

Две функции и называются эквивалентными в точке , если существует предел и если этот предел равен 1. При этом мы пишем: при .

Две функции и будем называть эквивалентными в точке с точностью до постоянной (с точностью до постоянного множителя), если существует предел и если этот предел не равен 0. Обозначив этот предел через , получим, что при .

Замечательные пределы.

Два предела принято называть замечательными:

Иногда замечательными называют также соотношения, являющиеся следствиями указанных двух:

Символ Ландау.

Если , то говорят, что функция есть -маленькое от при , стремящемся к и пишут: при . Значок «» называется символом Ландау.

Примеры: при , при .

Если обе функции и являются бесконечно малыми в точке , то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Примеры: при , при .

Теорема о выделении линейной части. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и при этом в точке существует предел . Обозначим этот предел через . Тогда

Выражение и называется линейной частью функции относительно . В частности, запись « при » эквивалентна записи « при ».

Примеры: при , при .

Ниже приведены примеры нескольких наиболее часто встречающихся эквивалентностей при .

Упр. 1. В каждом из рассмотренных примеров укажите также предел отношения двух функций при .

Теорема о замене на эквивалентную под знаком предела. Если при , то:

Пример 3.

Пример 4.

Определение предела на языке последовательностей.

Определение предела, которое было дано в начале главы принято называть определением на языке эпсилон-дельта или на языке Коши.

Иногда удобно использовать и другое, эквивалентное определение, которое называют определением на языке последовательностей или на языке Гейне (в честь немецкого математика XIX века).

Число является пределом функции при , если для любой последовательности , стремящейся к , такой, что , верно, что при .

Прежде чем продемонстрировать на примере, как используется эквивалентность двух определений предела, приведем без доказательства еще одно важное соотношение:

Подставив в указанное соотношение последовательность , получим уже доказанное ранее соотношение .

Пример 5.

Непрерывность функции.

Функция называется непрерывной в точке , если предел в этой точке существует (в случае, если — точка сгущения множества ) и равен значению функции в этой точке.

Если — изолированная точка множества , то мы будем считать функцию непрерывной в этой точке (это вопрос чисто формальной договоренности).

Если пределы слева и справа существуют, то у непрерывной функции они должны быть равны между собой.

Таким образом, предел непрерывной функции в точке равен значению функции в точке. Вспоминая определение предела функции в точке мы можем дать «явное» определение непрерывности.

Функция называется непрерывной в точке , если

Эквивалентное определение можно дать и на языке последовательностей.

Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , стремящейся к , верно, что при .

Понятие непрерывности достаточно естественно.

В частности, тем, что выполняются простые условия, обеспечивающие работу с непрерывными функциями.

Теорема об арифметических операциях замене с непрерывными функциями. Если и — функции, непрерывные в точке , то в этой же точке непрерывны функции , а также , при дополнительном предположении, что .

Теорема о непрерывности суперпозиции. Если функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , то в точке непрерывна функция .

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Для множества функций, непрерывных на промежутке принято следующее обозначение: . Таким образом, запись означает, что функция определена и непрерывна на отрезке .

Теорема о непрерывности обратной функции. Если и у существует обратная функция , то непрерывна на (или , если ).

Пример 6.

Дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке вещественной прямой, в которой .

Пример 7.

Функции и непрерывны на своих областях определения, то есть на промежутках .

Пример 8.

Функции , и непрерывны на всей вещественной прямой.

Также без доказательства сформулируем еще две важные теоремы об ограниченности непрерывных функций на замкнутом промежутке.

1-я теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на промежутке , то она ограничена на этом промежутке.

Карл Вейерштрасс (Karl Weierstras, 1815 — 1897) — выдающийся немецкий математик, «отец современного анализа». Занимался теорией аналитических функций. В значительной степени ему мы обязаны современными формулировками теорем, ставших классическими, крылатой фразой «нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом», а также славой Софьи Ковалевской.

2-я теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на промежутке , то в некоторых точках этого промежутка она принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Пример 9.

а) Функция определена и непрерывна на , однако не является ограниченной на этом промежутке;

b) Функция при , при , определена на , однако не является ограниченной на этом промежутке;

c) Функция определена и непрерывна на , является ограниченной на этом промежутке, но не принимает ни в какой точке наибольшее или наименьшее значения.

Следующая теорема иногда называется теоремой о промежуточном значении. Она была доказана Больцано в 1817 году и позже Коши в 1821 году.

Теорема Больцано (Больцано — Коши). Пусть дана непрерывная функция на отрезке (). причем . Без ограничения общности предположим, что . Тогда для любого существует такое, что .

Следующее важное следствие иногда называют 1-й теоремой Больцано — Коши: Если функция принимает в концах отрезка значения разных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю.

Пример 10.

Многочлены имеют по 4 корня, расположенных в интервалах .

Действительно, в обоих случаях числа и положительны, а и отрицательны.

Точки разрыва. Говорят, что в точке функция имеет устранимый разрыв, если существует предел функции в этой точке, однако само значение функции в этой точке либо не определено, либо не совпадает с этим пределом. Говорят, что в точке функция имеет разрыв 1 рода, или скачок, если пределы функции в этой точке слева и справа существуют и различны. Во всех остальных случаях говорят, что функция имеет разрыв 2 рода.

На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:

Много готовых курсовых работ по высшей математике

Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:

Курсовая работа на тему: элементы комбинаторики

Курсовая работа на тему: числовые последовательности

Курсовая работа на тему: производная

Курсовая работа на тему: монотонность и экстремумы