Оглавление:
Системы линейных уравнений
Задание: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:

5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:

5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?
Методические указания по выполнению работы:
Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.
1. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с
неизвестными.
Система линейных уравнений с
неизвестными имеет единственное решение, если определитель
, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:
где — определитель, полученный из определителя
заменой столбца коэффициентов при
столбцом свободных членов;
— определитель, полученный из определителя
заменой столбца коэффициентов при
столбцом свободных членов;
— определитель, полученный из определителя
заменой столбца коэффициентов при
столбцом свободных членов.
Пример 1.
Решите систему уравнений по правилу Крамера:
Решение:
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим
,
и
:

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.
Истинно.
Итак, решение системы найдено правильно.
Ответ:
2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- Составьте расширенную матрицу системы — матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
- С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
- Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.
Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:
- число уравнений не равно числу неизвестных.
- если в правиле Крамера
.
Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы
, причем:
- если
(ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;
- если
(ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.
Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2-4.
Пример 2.
Решите систему уравнений методом Гаусса:
Решение:
Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов
при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: .
Подставим во второе уравнение системы:
.
После подстановки и
в первое уравнение получим:
;
. Итак,
.
Проверка:

Следовательно, решение системы найдено верно.
Ответ: .
Пример 3.
Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение:
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.
Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть — свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения
:
.
Подставим данное выражение во второе уравнение:

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: .
Ответ: .
Пример 4.
Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:

Решение:
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:

Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Сложим вторую и третью строки:

Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: