Формулы для вычисления математического ожидания

Формулы для вычисления математического ожидания

• Формула для расчета математических ожиданий Как уже упоминалось в 27, поскольку он определяется случайной величиной | = £ ((0) вероятностного пространства (<, P) и, с точки зрения его стохастических свойств, полностью характеризуется распределением вероятностей Pb, Вы можете вспомнить функцию c == c, определенную в вероятностном пространстве (p, P ^) (π) = v, χe?.

• Отсюда математическое ожидание M £ = ^ £ (W) P (dw). Там о На самом деле она не зависит от вида функции (((o), (oeQ, s зависит только от распределения вероятностей P $. OO M | „= 2 -V» P {a): (I) А-л Эта сумма может быть выражена законом распределения. Pv M | „= ££]} • (15) Предел limМс «(14) указан как интеграл P-> OO Лебег | | (©) dP ((o);

На самом деле для неотрицательных случайных величин существует lini M £ r). Людмила Фирмаль

(15) это же ограничение является интегральным OO Lebesgue ral ^ xdPt (x), также называемый Обозначается Tegral Лебега-Стилтьеса и J xdF \ (x). о Примените те же аргументы и получите выражение £ = — о M | = \ xdFi (x), (16) — О Зависит только от распределения случайных величин M Конечно, в уравнении (16) правая часть может пониматься как неправильный интеграл Rn-Man-Stieltjes (в данном случае абсолютно сходящийся).

Интеграл Римана – Литерса на неубывающей функции F (x) при конечном изменении F (b) -F (a) функции g (x) на конечном интервале (a, 6) б н-1 \ g <*) dF (x) -lim ()! • J n ~ T OO * Ноги — 0 Где xk a + b n ak, k = 0, 1, …, n, xk < о Интегральный интеграл ^ g (x) dF (x) определяется как предел — О б lim \ g (x) dF (x). Когда F (x) имеет производные p (x) и F (* «) -a- + -oo J б-> оо <* Ша -F (x ‘) ^ p (u) du для всех <(*) d *. (17) Доказательство.

Предположим, что плотность p ^ (x) o ° p (x) является интегрируемой по Риману, а неверный интеграл Римана корректен в (17) (доказательство остается верным для интеграла Лебега). Сначала рассмотрим неотрицательную случайную величину I с функцией распределения 0, если х <0 F (0), если * = 0, (18) F (0) +] p (u) du для q:> 0. <Чтобы показать последовательность.

Простое случайное значение P2P Лу 2н В 1 Тогда M £ = lim мы имеем L-> OO (* -1) / 2р) 1 о «я n2 * — \ xp (x) dx-JP (*) dx <\ * p (x) dx Пройти неравенство о \ xp (x) dx-xp (x) dx Ой ой Установить эффективность (17) для неотрицательных случайных величин до предела n- * oo. В общем случае u — это плотность (x> 0) p1 + () = p (x) и px_ (x) = = р (-х). У нас есть M | = M | + ~ MG = Ой ой ой ой = J xp (x) dx-J xp (-x) dx = J jcp (x) dx о 0 -оо

Теорема 5. Если плотность равна Pi (x) t, функция о # () Является непрерывным и целочисленным ^ | g (jc) \ pi (x) dxcxoduTCHi тогда -00 о Mtf (|) = S g (x) Pi (x) dx. (19) -00 Доказательство. Сначала рассмотрим непрерывную функцию g (x), равную нулю вне интервала [a, b]. Для каждого η = 1, 2, …, xnk = a — \ — {0 или x> b, г (хнк) e> 0> g (x) равномерно в точке x при η-> oo.

Также н \ gn (x) \ <\ g (x) \ + Ei Оно ограничено. Применяя теорему Лебега к основной сходимости, lim Mgn &) = Mg®. (20) P- + 00 С другой стороны, л * нк б mgn (6) = «α $$ p (x) dx =) gn (x) P (x) dx. * — »Xn.k-1 a Следовательно, из неравенства \ gn (x) -g (x) | ^ e n ^ n0 \ g (x) p (x) dx-Mgn (l) Это и (20) дают равенство (19). Теперь рассмотрим неотрицательное g (x) ^ 0. Γg (x) для | * | <n, gn (x) — \ x > 0 для rlt

Поскольку случайная величина r \ n = Hn (£) монотонно сходится к y) = g (l), теорема о монотонной сходимости M ^ d) tMg (л). Отсюда и / Я ОО mgAQ «\ g (x) p (x) dx- + 5g (x) p (x) dx -p Для неотрицательных g (x) следуйте (19). В общем случае g (x) = g + (x) -g- (x), где ++ (x) = max {g (x) 0} G ~ (x) = — m ‘\ r \ {г (х), 0}. Оо оо оо = \ g + (x) p (x) dx- \ g- (x) p (x) dx = \ g (x) p (x) dx -о-оо -оо Теорема доказана.

• Теоремы 4 и 5 доказываются во многом таким же образом, если любое распределение F $ (x) заменяет (17) и (19) интегралом Стилла (Римана-Стилша). о M1 = J xdF ^ x), (21) -00 Mi (1) = \ g (x) dFt (x). (22) Когда интегрирование полностью сходится, возникают уравнения (21) и (22). Дискретные случайные величины (21) и (22) находятся в ряду о Mi = 1 ** p {! = }, (23) Mg ) P {£ = **}. (24)

Кроме того, знаки равенства (23) и (24) выполняются, когда ряд полностью сходится. Замечания 1. Уравнения (19), (22) и (24) также справедливы для более общего случая, когда функция Бореля ….. xm) отображает Rm в R1. Сделать случайный вектор 1 = (£ j, £ m) иметь функцию распределения НИ ИФет (хХ9 .., Хт) и ПЛОТНОСТЬ 0 т (х., .. Хт) (Если есть).

Тогда есть следующая формула для расчета математических ожиданий: …. 1t) Людмила Фирмаль

= 00 = \ ••• ….. * «) <, / G», … «Я (* 1 ….. *») » -Объектно-ориентированный Mgf (6i, лм) = о = S …… * «) P5, … 5т (* 1 ….. * м) дх 1 •• дхм • -Объектно-ориентированный Это доказательство аналогично доказательству, выполненному для уравнений (19), (22) и (24). Примечание 2. При расчете математического ожидаемого значения M # (£) часто используется метод, позволяющий избежать уравнений (16), (17), (19), (22) — (24).

Кроме того, правила распространения либо очень сложны, либо не указаны явно. Один из этих методов заключается в том, что случайная величина математического ожидания, которую вы пытаетесь вычислить, представляется как сумма более простой случайной величины (например, индикатора). 5 = 8 ”+ 02+ … +6 т и да Добавка Ml = M6 | + + + • .. +

Еще один способ математического расчета * Ожидания связаны с использованием функций генерации и характеристических функций (см. Главы 8 и 9). В §13 мы изучили некоторые свойства математических ожиданий в конечных схемах. В этой главе установлено, что, когда в соответствующих местах предполагается только существование или конечность Ml, математические ожидания Ml обычно имеют те же свойства.

Глава Как показано на фиг.3, в общем случае определяются момент порядка k-ro, центр, абсолютный и абсолютный центральный моменты, особенно дисперсия, ковариация и коэффициент корреляции. Дженсен, доказательство Коши неравенства — Буняковский, Ляпунов, Чебышев 3, легко переносимый и общий случай.

Аналогично доказательство теоремы Чебышева § 18 (многих законов) дается в форме, подходящей для общего случая. Мы будем продолжать использовать эти результаты без повторного запуска доказательства, представленного SEC. 3 в окончательном рисунке. Mt] и Dtj случайных величин d) Обычно распределяются с параметрами (0, 1): о M4 = -7 = \ xe ~~ dx = 0, V 2 l J Dri = Mii2 = —jL = — \ jt2e «* = V2n J V2 » + J ‘»1″ -1- — О В расчете доктора использовался следующий метод 1 ~

Установить маркировку детали, v = x и = -y = e2 U2ya Флорида dv-dx, du- * e2. 2L Если x \ нормально распределен с параметрами (0,1), то ^ = + Метрика (a, a) и M £ = π, D £ = a2. Следовательно, параметры нормальных распределений a и o равны ожидаемому значению магмы и стандартному отклонению.

Вычислить M | и равномерное распределение D £ a [a, b]. У нас есть б M g -‘- LpJxrfx-iii. но но и Рассчитать M £ и D £ гамма-распределения 00 JG (a) axЯГ (a)) 11 auЯГ (a) A, 9 Ой ой ОО 00 -E — *** dx = 1 1- \ xa +] e〜x dx = J ((Я) 22 ((a) J x e ax Ой ой T («-f2) » (a + 1) = H2G (a) H2

Смотрите также:

Решение задач по математической статистике

Формулы обращения для характеристических функций	Целочисленные случайные величины и их производящие функции
Определение математического ожидания	Факториальные моменты

Если вам потребуется помощь по математической статистике вы всегда можете написать мне в whatsapp.