Оглавление:
Существование минимума у сильно выпуклой функции и единственность минимума у строго выпуклой функции
- Существование минимума в сильно выпуклой функции и единственность минимума в строго выпуклой функции. Функция f (x)выпуклого множества Q. 522 определена в главе 12. Функции некоторых переменных Если эта функция имеет 6 соседей этой точки Cs, то эта функция имеет значение f (x0) на всех пересечениях 6 соседей Cs в первом множестве Q меньше значения f (x) этой
функции. Поэтому, по крайней мере, Т Р Е Н Е Г О Л Л Л О Н О М и М У М а(если эти точки являются внутренними точками Q) и Р А В О Г О Л С Для изучения наличия и единственности локальных минимальных точек необходимы следующие вспомогательные леммы: Л е м м А3. Выпуклое множество Q может быть задано дифференцируемой выпуклой функцией f (x). Для того чтобы эта функция имела локальный минимум в точке x0 множества Q, необходимо, чтобы неравенство было истинным для любого вектора\x, где точка x+DX принадлежит множеству Q. * *
Неравенство (12.1.15) принимает скалярное произведение вектора gradf(Xo) и DX. Определение Gradf (x Людмила Фирмаль
) см. В главе 8,§4: 12. (gradf (xo), DX)>0. (12.1.15)D o K a T E l s t V o. благодаря доказанному утверждению в пункте 8§4 § 12, левая часть (12.1.15) является длиной этого вектора|L E точка x0 вектора DX на DX|. , oe (12.1.16)) Где e=DX/DX / — единичный вектор направления DX. Поскольку X0-локальная минимальная точка функции f(x), то дифференциал df/de(xo) в любом направлении e==DX/DX|DX|неотрицателен (точнее, если XO-точка внутреннего локального минимума). Таким образом, правая часть(12.1.16) (следовательно,
левая часть (12.1.15)) неотрицательна. Необходимость была доказана. Предполагается, что неравенство (12.1.15) справедливо для любого вектора DX, точка достаточности XO+DX принадлежит Q. Докажем, что точка XO является локальной минимальной точкой функции f (x).Дополнение 1 523 Так как функция f(x) по условию выпукла над множеством Q,то для любого числа t из любой точки Xi и X2 и отрезка 0/(x°+DX). учитывая, что (12.1.17)x0 и DX фиксированы, передадим неравенство (12.1.17) в предел z—>0+0. Согласно определению производных направления (см. Главу 8, Главу 12, Главу 12), предел/->0+0 (12.1.17) в правой части точно такой же, как и в произведении в
- правой части(12.1.16), поэтому из-за соотношения (12.1.15) и (12.1.16) этот предел не отрицателен. Учитывая, что левая сторона (12.1.17) не зависит от t, она переходит от неравенства f (x12+Ax)-/(XO)>0 (12.1.17) к пределу/->0+0. Последнее неравенство, справедливое для любого вектора DX, где точка XO+DX принадлежит Q, доказывает, что функция f(x) имеет локальный минимум в точке x0. Достаточность была доказана. Лемма 3 отлично доказана. З а м е ч а н и Е1. Из приведенного доказательства следует, что если точка XO находится в п у р е н е й точке множества Q, т. е. когда речь идет о внутреннем локальном минимуме, то в формулировке леммы 3 можно сказать, что это самое главное.、 З а м е ч а н и Е2. Мы не использовали выпуклое требование функции f (x) для доказательства
необходимости леммы 3. Таким образом, доказательство неизбежности проходит без необходимости выпуклости функции f(x). Другими словами, верно следующее U T V E R W d E N I e. если функция f (x)дифференцируема выпуклым множеством Q и имеет локальный минимум во внутренней [граничной]точке x0 этого множества, то точка x0+DX будет неравной для любого вектора, принадлежащего Q. Перейдем к вопросу об уникальности и наличии локальной точки минимума. Это позволяет повысить производительность вашего приложения. Если функция f (x)дифференцируема и строго выпукла на выпуклом множестве Q, то она может иметь локальное минимальное значение только в одной точке множества.524Ч. 12. Функции некоторых переменных Д О К а з а т е л ь с т в о.. Тогда выпуклые условия для точек xjl и точки x2(12.1.5) равны f (x2)>
(- ~X1) 1~f (%1) (12.1.18>, где t-любое число из интервала 0+. Ограничения в Людмила Фирмаль
(12.1.19)/-0 + 0 правая часть (12.1.18) [каждая правая часть (12.1.19)] дает производную функции f (x) в направлении вектора x2-x [каждый вектор Xt-x2], и эти производные направления неотрицательны, т. е. истинны (12.1) и минимальны (12.1.18) соответственно, потому что обе точки Xi и x2 являются локальными точками. это так/-0 + 0 оба они неотрицательны. Таким образом, из крайних неравенств(12.1.18) и (12.1.19)/-0 + 0 мы получаем Ф(Х2) — Ф(Х)^0, Я) — Ф(Х2)>0. Сравнивая два последних неравенства, приходим к выводу, что f (xi)=f(x2). Используя равенство f (xi)=f(x2), f[xi+/(x2—X1)]&!DH) 2. (12.1.23) соотношения(12.1.21)—(12.1.23) Ф(Х) — ф(ХХ)> — \ ДФ(х|4-г-Н2/[ХХ+6(х Дж]> > / gradf(ХХ))| / Г X|+ — Г |Д х / 2,525 ч. 12. Функции некоторых переменных Итак,/(x) — / (x x)> / DX / [^- /A x / — / g r d/(x1) / j. (12.1.24)
точка Xi фиксирована, а значение|gradf(xi) [является фиксированным числом, поэтому я могу выбрать большое положительное число, например|DX / >7? Выражение в квадратных скобках a (12.1.24)было положительным. Это означает, что в случае|DX|>R справедливо неравенство f (x)>f (xi). Укажите Qr заданного шара CR и установите Q пересечения. Поскольку оба множества Q и CR выпуклы и замкнуты, их пересечение Qr также выпукло и замкнуто. Кроме того, потому что есть QR-набор! Если функция f (x) имеет одну точку XO с локальным минимумом на множестве QR, как было доказано выше. Эти значения лучше, чем f (x0), потому что со всеми точками Q вне QR мы доказали, что значение f (x) превышает f (xi). Теорема отлично доказана
Смотрите также:
| Второе достаточное условие перегиба | Краевой экстремум |
| Третье достаточное условие перегиба | Понятие первообразной функции |
