Оглавление:
Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных
- Основное свойство непрерывной функции некоторых переменных. В этом абзаце перечислены основные свойства непрерывной функции для некоторых переменных. Поскольку корректура этих свойств в основном аналогична корректуре соответствующего свойства функции одной переменной, как правило, дается только краткое описание. Если функции f(M)и g (M) даны одному и тому же множеству{L1}и непрерывны в некоторой точке-в этом множестве A
функции f (M)—g (M), f (M)-g (M), _f (M)-G (M) и точка A непрерывны.（ Это утверждение непосредственно следует за соответствующим утверждением об арифметических операциях над функциями с ограничениями (см. Главу 3, пункт 2). 2°. Введено понятие комплексных функций некоторых переменных. Пусть функция X1=F1(/1, ta,. * >4)>x2FZ(L. ‘^2’*•>h), (12.11)x t=Ft (Ab t%,. * * «tk») дается евклидовой пространственной коллекции{A}Eh(ii, t2, Eh)… …,
tk-координаты точки в этом пространстве). Тогда N(ti, t2,…Th) множества{Y}ставится по формуле(12.11)в точку M (Xi,x2,…Et) Людмила Фирмаль
евклидова пространства. Представляет собой {L1}множество всех таких точек. Пусть u=f (xi….., HT) — функция переменной T, заданной заданному множеству{L1}. В этом случае комплексная функция C=/(%1, x2 определяется в множестве{N}евклидова пространства…, HT), где Xl, x2,..; HT-функция переменной L, / 2…, th, и эти функции определяются соотношением (12.11). Ниже приводится истинная U t V e R W d E n I e. функция X1=F1 (^i,…, 4), x2=FG(L, -…, че),…это не проблема…, th) смежна в точке A(alt A2,…И функция u=f (x\, x2,…, xm) точка B (b\, b2,…BM), где b i^^^a i, a2,…Oh), i=l, 2,…W. тогда комплексная функция и= — x2,…, HT), где xi, x2,…, HT-функция, определенная на
аргументе L,/2,•••, th, точка A(a!, А2,…АЛЯСКА).466Ч. 12. Функции некоторых переменных Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим произвольную сходящуюся последовательность точек Nn — (t\<-n\D (n), где N — число точек NN — (n))… …, Dm(Nn)]сходится к частичным значениям этой комплексной функции f[FDA),0 для любого e>6/(A)-s>P. Теорема Больцано-Вейерштрасса (пункт 2, 2, очевидно, что последовательность{f (Mkn)} бесконечна. С другой стороны, для непрерывности функции при m эта последовательность должна сходиться к DM). Противоречие результата доказывает теорему. 6°.
- Это позволяет пользователю использовать пользовательский интерфейс и изменять пользовательский интерфейс с помощью пользовательского интерфейса. Точной верхней поверхностью функции DM на множестве{M}называется такое число y, которое удовлетворяет двум требованиям: 1) для всех точек M в множестве D M)^y{M}; 2) для любого e>0. Аналогично определяется точная нижняя сторона и функция DM на множестве{M}). Для обозначения точной плоскости функции (DM) на множестве используются следующие символы:» = sup/(M), » =inf/(M). {m}(m) А12. 7 (R a I t E o R e m a in e E R W t R A s a). Если функция u=f (M) непрерывна с замкнутым ограниченным множеством{M}, то это множество достигнет точных
верхней и нижней поверхностей. Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 4.15 (то есть теорему Вейерштрасса второго для функции одной переменной). Читатель легко осуществит это доказательство.468Ч. 12. Функции некоторых переменных 7°. Это позволяет нам обеспечить лучшее решение для удовлетворения потребностей наших пользователей. Функция u=f (M) называется p a в евклидовом пространстве{*M}, и только e может быть дано такое положительное число 6 для любого положительного числа e. * Множество{AF}само по себе считается плотным, то есть точка множества в любой окрестности B каждой точки M множества M (AD. ** Колебание, вызванное функцией f(Af) множества{Af}, является разницей между точной вершиной и точным дном функции f (M) этого множества. Следующие теоремы справедливы. Это 12,8. (Т Е О Р Е М А Р А В Н О М е р н ы й н е р ы й В О СТИ).
Последовательные функции на замкнутом ограниченном множестве равномерно Людмила Фирмаль
непрерывны на этом множестве. Доказательства этой теоремы очень похожи на доказательства теоремы 4.16, которые говорят: «сегмент[a,?>] с термином «set{LG}» замените символ x буквой M и замените выражение типа\x’ — x «1 символом p (M’,M»). Z a m e h a n I e. где M ‘и M» — все возможные точки множества{L4}. Используя понятие диаметра множества, мы фокусируем наше внимание на следующих характеристиках континуума для замкнутого ограниченного множества функций. Пусть функция u=f (M) непрерывна с замкнутым ограниченным множеством{L4}. Тогда для любого положительного числа e можно задать такое-8>0 для каждого замкнутого подмножества{L4}, принадлежащего множеству{L/}, диаметр которого меньше 8.、 Доказательства этой характеристики очень похожи на
доказательства теоремы 4.16. Z a m e h a n I e. если конечные подсистемы, покрывающие это множество, также можно отличить от системы открытых множеств, покрывающих множество{L4}, то множество M-мерных евклидовых пространств{M}равно K o m Как раз для всего реального пространства экс (см. пункт 3§7 Главы 4) множество Т-мерного евклидова пространства Et оказалось компактным. Таким образом, первая и вторая теоремы Вейерштрасса и теорема равномерной непрерывности сохраняются для компактной и непрерывной функции.
Смотрите также:
| Понятие непрерывности функции m переменных | Частные производные функции нескольких переменных |
| Непрерывность функции m переменных по одной переменной | Дифференцируемость функции нескольких переменных |
