Оглавление:
Предел функции m переменных
- Функция M предел переменной. Рассмотрим функцию I=f (M), определенную в множестве точек{L4}в M-мерном Евклидовом пространстве Et, и, возможно, точка A в пространстве Et, которая не принадлежит множеству{Af}, является точкой в этой точке. Для П Р ЕД е л Ен и я Е1(п Ред ель ф Н К С я в Т О Ч К Е О Г Е Н Е). Установите эту
функцию либо для точки сходимости{AI}точки U=f(M)A (или M-^A)точки{A1″}12. Функции некоторых переменных О П Р Е Д Е Л Ен и Е1*(П Р Е Д Е Л Ь ф у Н К И Й в том ч К Е А К О ш и). Число b называется пределом (или пределом) функции u=f (M) в точке A (или L4->A), и если существует положительное число 6,
соответствующее положительному числу e, то эта функция удовлетворяет условию 0OO. Людмила Фирмаль
Для этого предположим множество{L1}и на нем задана функция u=f(M), при любом b>0, имеющая хотя бы один элемент m, точка 0 (0, 0)…. 0). Мы ограничиваемся определением соответствующих пределов функции Коши. О п р ЕД е л я Е2. L1 — > — функция OO, U=f(M), называется PR e l o m, а в случае положительного числа e-соответствующим положительным числом E, удовлетворяющим
условию p (O,M)>8 для всех точек M множества функций{L4}. Символ используется для обозначения ограничения функции u=f (M) в L4 — >OO lim f (M)=b. Как и функция одной переменной, арифметическая операция над функцией переменной m с пределом в данной точке[или L1 — >OO] выполняется функцией с пределом в точке A[L1->OO, соответственно]. Сформулируем предложение, соответствующее случаю предела в точке А. Две функции f(M) и g (M) даны в одном и
- том же множестве{L1}, и существует ограничение на точку A соответственно RAE-§2. Функция t переменный предел 457 Тогда функции f (M)+g (M), f (M)-g (M), f (M)-g (M) и f (M)/g (M) имеют предел, равный соответственно b+c, b-C, b-C и blc в точках A (в случае частных мы видим, что C не равно нулю). Доказательства этого утверждения очень похожи на доказательства теоремы 3. 21 (см. Главу 4, Главу 4, Раздел 3), но только для определения пределов высоких имен функций переменной, а не для определения функции переменной.
В настоящей работе мы устанавливаем критерий Коши для существования предела функции M-переменной. О П Р Е Д Е Л Е Н и Е3. Функция m переменной f (M) заполняет y с l O b и y K o,а m=A[L, соответственно!->OO], для любого положительного числа e из множества{L4}назначения функции, удовлетворяющего условию, если существует положительное число 6, соответствующее любым двум точкам M ‘и M'». 0<р (Афз,а)<6,0<<Р(Л4″,А)<Б[условие Р(М’,П)>8,р(м’,п)>б], неравенство/Ф(М’)-/(ЛГ’)|<е 12.2 (Кри Тери й Кош и С У с Ч Е Т В О В А Н И П Р Е Д Е Л А Ф ункц и ПГ П Е Р Е М Е Н н ы х). Для того чтобы функция u=f (M) имела конечный предел с m=A[при M->OO], эта функция должна удовлетворять условию
Коши с m=A[при L4->OO], и этого достаточно. Доказательства этой теоремы полностью Людмила Фирмаль
идентичны доказательствам теоремы 3.20 (см. Главу 3, пункт 3,§4), в которой буквы x и a заменяются буквами M и a, а выражения типа|x-a/ — символом p (L4).、 ( Отметим, что определение пределов функции m переменных u=f(M) в точках A и L1 — > — OO соответствует общему определению p e d e l a, которое введено в главе 5, Глава 3. Сначала рассмотрим предел функции u=f (M) В точке A. Условимся называть 8-ю точку, из которой удалена сама точка А, М-мерным шаром с центром точки А и радиусом в открытым. Подчеркнем, что f (M) дано такому множеству{L4}.для b>0, по крайней мере, одна точка M в
проколотой окрестности B точки A Обозначим знаком Cs проколотый b-расположим точку A окрестности BB={L1}G/S’8. Очевидно, что множество B={В.}устанавливает ВБ для всех b>0 форма Б а ЗУ М Н О Ж Е С Т{Л4}, и для всех установить В8 (любого б>0) не является пустым, и устанавливает * См. Главу 3,§5, для определения основы и ограничений базовой функциональности. Эта база, естественно, показывает символ L4 — >A, и чтобы проверить его легко, определение предела такой базы совпадает с 458GL. 12. Функции некоторых переменных С определением 1 * предела функции u=f (M) в точке A по Коши. *Одна переменная=(XY-a.it достаточно считать, что каждая функция n k бесконечно мала в точке Xk=a. Для предела функции u=f
(M) из M-^OO эта функция должна быть дана такому множеству{L1}, а для 6>0 она должна удовлетворять условию p (M, O)>6 хотя бы одному..0). Символом C6 обозначим множество всех точек M в пространстве Et, удовлетворяющее условию p (M,O)>8, и поставим B5={L4}PSV. Легко видеть, что множество всех b>0 множеств BB образует основу множества{Af}. Поскольку это основание естественно обозначается символом af — >Oo Af — >oo, это легко проверить, поэтому определение предела такого основания совпадает с определением функции u=f (m2) Af->oo. В заключение отметим, что теорема 12.2 (т. е. для существования пределов целевой функции Коши=f (M) в точке,когда M — >OO) является частным случаем теоремы.
Смотрите также:
| Последовательности точек пространства Еm | Бесконечно малые функции m переменных |
| Свойство ограниченной последовательности точек Еm | Повторные пределы |
