Оглавление:
Понятие m-мерного координатного и m-мерного евклидова пространств
- Понятие м-мерных координат и М-мерного евклидова пространства. При изложении теории функций M-переменных удобно использовать геометрические термины, обобщения и§1. Функция Т переменных концепции 443 Формализация наших представлений о плоских поверхностях и реальных (трехмерных)геометрических
пространствах. M-размерности m K o o R d I n ATN s m p R o s t R a n S T V o m множество всех возможных упорядоченных множеств (xi, x2,… XM) действительного числа Xi, x2,…. ХТ. Обозначим м-мерное координатное пространство символом. Все упорядоченные множества (xi, x2,…, HT) назовем это h K o
Th M-мерным координатным пространством и обозначим одной буквой M. Людмила Фирмаль
Соответственно, числа Xi, x2, … HT мы будем называть там K o o R d I N и M точками. Запись M (xt, x2, XT) означает, что точка M имеет координаты Xi, Xg,… ХТ. З а м е ч а н и Е1. Если рассматривать координатное пространство как совокупность всех векторов x с координатами (Xi, x2,… Вектор x=(xi, x2,…,xm)и Y=(Y1,Y2, Yt)векторов с координатами (Xj+i/i, x2+Y2,… Вектор x=(xi, x2,…, HT) L-вектор с вещественными координатами (%XY LX2,… В этом случае
координатное пространство изменяется на линейное пространство*. * Напомним, что линейное пространство — это набор векторов x, y, Z… 1)Х++У=У+Х;2) (х+у)+З=х+х(у+з); 3)-х+0=любого вектора X;4) существует нулевой вектор такой, что Х+0=х для любого вектора х, а Х Х+У’=0;х=5+(З+П) Х=Х=ХХ+Си;7) (СХ)=8) 1-Х=Х = Х Х Х = Х.х. х. х. х. х. х. х. х. х. х. х Координатное пространство согласно определению операций сложения векторов и операций умножения векторов, приведенному в Примечании 1, удовлетворяет заданным восьми аксиомам и, таким
- образом, является линейным пространством. Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятиями координатных плоскостей и трехмерных координатных пространств. Обобщением этих понятий является Т-мерное координатное пространство At. Понятие координатной плоскости и трехмерного координатного пространства является источником удобных геометрических терминов, используемых при исследовании м-мерного координатного пространства. Заметим, что для наших целей понятие м-мерного координатного пространства At является недостаточным. Вы не
можете обойтись без измерения расстояния между точками этого пространства. Для введения понятия расстояния между точками в координатном пространстве необходимо исходить из понятия расстояния между двумя точками в координатной плоскости и двумя точками в трехмерном координатном пространстве 12. Функции некоторых переменных Эти формулы хорошо известны читателю из курса аналитической геометрии). О П Р Е Д Е Л Е Н И е. это координатное пространство есть M'(xi, Hg’,.Если между любой точкой (M’) находится то, что называется M размерностью m e В K l и d o в s m… Определяется расстоянием, представленным
.Пространство «(х «я х г» х г») определяется расстояние обозначается символом Р(ЛГ, м»), Людмила Фирмаль
представлена взаимосвязь П (m’, m»)=]/(%; — o2+U r t)2+•*■+»-o2 — (i2.Обозначим M-мерное Евклидово пространство в виде символа по восточному времени. Концепция м-мерного евклидова пространства ET является естественным обобщением концепции трехмерного евклидова пространства и евклидовой плоскости, изучаемой в процессе аналитической геометрии. З а м е ч а н и Е2. В общем определении К Л Е дается в курсе линейной алгебры, а в курсе линейной алгебры задаются в этом пространстве любые два, z)+(y, z); 3) (S,y)= = f); 4) (X, x)>0,и (x, x)=0 только X=o для нулевых элементов. Если он находится в пространстве, то вектор x (x1u x2, элементы которого имеют координаты… …Чтобы определить скалярное произведение
двух элементов, x== ( % !, x2,…, ХТ) и y=(соотношение з/б з/2,■■■, ут) (х,г)=x1u1+x2u2+… +Htut, (12.2)далее заполняются вышеприведенные четыре аксиомы, пространство которых превращается в евклидово пространство (с точки зрения общего определения евклидова пространства). Если правило задано для каждого элемента действительного числа x, называемого n o R m o y для этого элемента, я думаю, что линейное пространство называется n o R m и n o m 1)| / x+y] / / + / / y//; 2)//Ah|/=/A/•/ x/|; 3)|x|/|0, и] x / / 0, и] x0 только для нулевых элементов. * В Axiom3), требования для| / x / / >0 являются необязательными. Фактически это требование является логическим
следствием аксиом 1) и 2), где||x||==0 предполагает, что вы ставите нулевой элемент x (чего достаточно для аксиомы 1), y=-X).§1. Функция Т переменных концепции 445 Доказано, что все евклидовы пространства нормируются в процессе линейной алгебры.икс) *Например, В. А. Ильин, Е. Г. Позняк см. Линейная алгебра. ** Аксиома 3) позволяет опустить требование p (x, y)>0. Фактически это новое требование является логическим следствием аксиом 1)и 2)、 Нормализованное пространство — это так называемое m e t R I h C a m p R o s t R A n s t a m, то есть любые два элемента X7 и x», эти элементы+p(z, x); 3) r(x, y)>0, и только если r(x, y)=0,x*.= * достаточно определить расстояние y p (x’, x») по соотношению p (x’, x»)=|||x’-x»|
/ ==K (x’—x», x’—x»). Если считать, что координатное пространство является евклидовым пространством со скалярным произведением, определенным в соотношении (12.2), то используется следующее уравнение расстояния между x’=(x/, x’2, x’t) и x»=(x», x2″, p (x’, x»).., HT»)пространство^™-R (x’, x»)=V(x’-x», x’-x»)==V(xj-X])2+(x’-x») 2+. . . +(HT-x^) 2. Полученное выражение точно совпадает со значением, стоящим справа(12.1)
Смотрите также:
| Метод трапеций | Операторы в линейных и нормированных пространствах. |
| Метод парабол | Достаточные условия локального экстремума функции m переменных |
