Оглавление:
Критерий спрямляемости кривой. Вычисление длины дуги кривой.
- Критерий линейности кривой. Вычислите длину дуги кривой. Приведите достаточные условия для прямолинейности кривой и формулу для вычисления длины ее дуги. Давайте договоримся об использовании следующих терминов. 1°. Если производная f'(t) существует и непрерывна в любой внутренней точке этого отрезка, и далее существует конечный предел, то fu n KC и I f (t) являются t^ — a+o
f f — «∞ — o в этом определении функция f'(t) является значением этой функции на обоих концах указанного отрезка lim f'(t) и L/Если равно пределу 0z—Q), то отрезок[a、 * Соответственно. Если, согласно условиям определения * 1°, дополнительно требуется наличие односторонних производных/'(a+0) и G (γ-0), то, благодаря
Главе 3,§4.6, lim f (x)=f (a+0), lim f(x Jc-kz+O x^b-0398 Глава 10. Геометрические Людмила Фирмаль
приложения определенных интегралов 2°. Например, если f'(t) существует и удовлетворяет соотношению, то|f'(0|, где M-константа, для всех внутренних точек отрезка a *То есть каждая из функций0, что неравенство выполняется в d<6 l / Z / — / / < — f. 1 0-9. Где I-предел D*0-интегральная сумма o (ti,£,), Y-J V\ / 2(/) + 1|/\/) dt другими словами, показать, что мы можем- * Интегрируемость этой функции следует непрерывности отрезка[a, π]. **Первое из этих неравенств вытекает
из следующих оценок, которые справедливы для любого числа a, B и BG. / ] / a2+ & 2 — / CZ+ | = ——— — -1——— ———-вместе? +6? + ] / 2+62 То есть Однако заметим, что длина ломаной линии Z, соответствующей этому делению T, вписанной в кривую L, отличается от интеграла I на величину меньшую, чем заданное число e / 2. ** ^-6 1-lb I+b l / M+I6| I61-61- Потому что разница в значении функции AE больше, чем разница в ее точной плоскости.400 каналов 10. Геометрические
- приложения определенных интегралов IV f ‘ 2a -) +(f’b) — V f, 2 (s+i/U) I< < IF ‘(PO-f'(Y To Mt-g), Где M{и rrii-точные грани функции f (/) частичного отрезка[ti-1, Zi]*. | | / | — 0, можно указать такое b>0,что диаметр деления D<6 неравенств заполняется. №.& )- /K-B s-s<4-(W1 1> 4-4 Таким образом, для d<6 неравенство справедливо, благодаря(10.10)и(10.11 11/]-/)=ч/л-А+А-З К II / л-тфл+|(G_7|(t), y=ty (t), является выпрямлением. Действительно, при доказательстве теоремы 10.1 условие ограничения на отрезок[SS, 0]вписывается в длину функции f () и F (£)|/|кривой L, и в нее вписываются все разбиения отрезка[a, R]. З а м е ч а н и Е2. Формула (10.7)для вычисления длины дуги справедлива для функций f ( £ ) и ip (где Q непрерывна, а
производные f ( / ) и f'(0 интегрируемы только в сегментах[a, 0]). На самом деле интегрируемость этих производных должна быть скромной, поэтому благодаря кривым speech1 и spamsalot L неравенство(10.10), (10.11) и, следовательно, неравенство 2 (/)-все остальные аргументы такие же, как доказательство (10.1) теоремы. З а м е ч а н и Е3. Если кривая L является графом функции y=f (x), имеет на непрерывном отрезке [a, b] непрерывное’ * 402 Глава 10. Геометрические приложения определенных интегралов
.Производная f'(x), то кривая L является прямой линией, и ее длину/L\можно найти по формуле / £ / =j V l+f2 (x) dx. (10.14) Но Фактически граф Людмила Фирмаль
рассматриваемой функции представляет собой «кривую, определяемую параметрическими уравнениями x=t, _y=f (t), aи функции<π• (/), f (0>x (0 непрерывны и имеют первую последовательную производную от[a, p]) で与えられる空間パラメータ化可能な曲線Lを考えstraight-.mA длину этой дуги/L|можно найти по следующей формуле серебро ,—————————————— \l=J r f ‘2(0+f’ 2(0+x ‘ 2 (0^. (Да. Шестнадцать) Но Д О К А З а т е л ь с т в о аналогично доказательству теоремы 10.1.
Смотрите также:
| Производные второго порядка | Дифференциал дуги |
| Отображение m-мерного евклидова пространства в n-мерное | Понятия границы множества и плоской фигуры |
