Оглавление:
Длина дуги кривой. Понятие спрямляемой кривой
- Длина дуги кривой. Понятие выпрямленной кривой. На этом этапе мы вводим понятие дуги параметризованных кривых и рассматриваем некоторые свойства кривых с длинами Дуг(такими кривыми являются SP R I m l i em m I). Я согласен назвать линию p R I m o y, определенную в параметре. Вы всегда можете выбрать константы a, B, C, d так, чтобы линия проходила через заданные точки Ali(xi, yi) и M2(x2, YG). Отрезок прямой между точками M-и M2, соединяющий эти точки, называется О Т Р Е З К О М,а конечное число соседних отрезков называется множеством отрезков Oi. Параметризовать плоскую кривую L с помощью уравнения X=Y=1|'(0>^[a, p]). Далее, это произвольное деление отрезка[a, p]на
точку a=to<ti<tz<… < FН=*.Он представляет…Соответствующая точка кривой M n L, то есть точка с координатами * В главе 9 разделение сегмента обозначалось символом^*}. Af0 (f (^o), F ()), 2I1(F1(£i), f(L)), M2(<p(/2), f ( ^ )), -…И Ein (<p (G), f Gn)). Полученная полилиния l (ti)=M1m2… Депутат будет — §1. Длина дуги кривой 395 z-Lom anoy, VP и San n o y в kr и Wu Yu L и сегменты[a, Pi], соответствующие разбиению T. длина//, n/n / g=L4 (_1L4/эта ломаная линия-расстояние между точками f (^_1) и M,), f (/<). Таким образом, j/,•I=V[f(A)—f (^_1)]2+[f(ti) — f I3 и длина всей полилинии l=M QM xM2|/|/… MP|1=£11L=E и f (^.(^- i) F • (=1 1=1 Введем понятие кривой выпрямления. Если множество длин { | / }, вписанных в кривую L
многогранника 1=1 ( / < ), соответствующих всем возможным делениям t отрезка[a, p], ограничено, то в этом случае точная верхняя поверхность множества Людмила Фирмаль
{|/|||} называется дугой кривой d l и N-й кривой, обозначаемой символом / L/. Из сформулированного определения легко сделать вывод, что длина|L|дуги L кривой всегда положительна. З а м е ч а н и Е1. Есть не выпрямляется кривой. Примеры не устранены зона кривых.Ильин и Е. Г. Позняк «основы математического анализа», 1 (М. 1982 pp.It находится в книге 382-386). Докажем следующие вспомогательные утверждения: Л е м м а давай.|/0| — длина многоугольной линии, вписанной в кривую L, и A|/i/, соответствующая делению отрезка линии[a, R], является длиной многоугольной линии, вписанной в кривую L, добавляя одну или несколько новых точек D o K A z a t e s T V o. достаточно рассмотреть случай, когда разбиение добавляется к одной точке. В этом случае
полилиния, соответствующая разбиению, отличается от полилинии, соответствующей делению Ti, одно звено MkMk+I склонно соответствовать делению в Shaam, aneesa два звена. * Точка, соответствующая значению параметра t-y, обозначается через N. NMk+l*полилинии, соответствующей разделу Ti (1\является общим со всеми другими связями полилинии, соответствующей разделу). Поскольку длина одной стороны треугольника MhMk+не превышает суммы длин других сторон,< / Alfe7V / + / Alfe+i / это означает, что Лемма будет доказана. Дадим о-й некоторый C с T в выпрямленной кривой a: 1°. Если кривая L является прямой линией, то длина дуги / L / не зависит от параметризации этой кривой. Параметры этих
- параметров определяются в сегментах[a,p]и [a,B] соответственно. Поскольку T является строго монотонной и непрерывной функцией, a396CH. 10. Геометрические приложения определенных интегралов s-строгая монотонная непрерывная функция t, где каждое разбиение T в отрезке[a, p]соответствует определенному разбиению P в отрезке[a, B], и наоборот. Ясно, что отрезки[a, p]и [a, B], вписанные в L, соответствующие соответствующим отсекам, идентичны, и поэтому их длина равна. Однако точная верхняя поверхность двух одинаковых числовых множеств равна, т. е. длина кривой L для двух разных параметризов равна. 2°. Если кривая L разбита на конечное число
точек Mo, m t…, Точка Mo, M1G и конечное число кривых Li, на MP…MP соответствует значению ti…, tn=t и a=to<ti<… <tn-P, то каждая Li кривой является прямой линией и сумма длин / L, / Li всех кривых равна длине кривой L|L. Очевидно, что это свойство является д О С Т А Т О Н Н О Д О К а з Т Т Т, когда кривая L делится на две кривые Lt и L2 в точке C. Тогда точка Li кривой соответствует значению параметра t из отрезка[a, y], а точка Lz кривой соответствует значению параметра t из отрезка[y, p]. T2 может быть любым разделом указанного сегмента, а T может быть любым разделом сегмента[a, p], полученным путем объединения раздела L с разделом T2. это явно 1м+ |/2 | = |/|.
(Да. Четыре) Поскольку числа|L|,|/2|и|/|положительны, то из уравнения (10.4) и прямолинейности кривой L, из уравнения многогранной кривой (10.4) и длины дуги кривой, соответствующей всем Людмила Фирмаль
возможным делениям отрезков[a, y]и[y, p], из определения длины дуги кривой|L i [, L2, и дуги|A/отметим, что она удовлетворяет|L2|<|l|. (10.5) фактически, из равенства (10.4), это неравенство|L|+1/g|<\1\справедливо для любого разбиения Ti и T2 в сегментах[a, y]и[y, p]-это неравенство не справедливо для всех разбиений. Неравенство (10.5) указывает на то, что неравенство действительно может быть заменено знаком равенства. То есть, предположим|Li / + / L2 / <\L. Тогда число|L|-(/L1|+ / L2|)=e (10.6) положительно. Из определения длины дуги кривой L/L/, для положительного числа e, длина полилинии 10, вписанной в кривую L / Zo/, соответствует этому делению Hehr-1 соответствует длине дуги кривой Тора [a,p]397.
westwo|L| — |/0 |e. разделите его на точки и добавьте, чтобы указать полученное разбиение с помощью T. тогда, благодаря вышеописанным леммам, удовлетворяет делению T / ||поэтому неравенство полилинии| L / —(|Zi / + / fe/)< » * / L / + / / g / < / D / + / Tg|истинно, поэтому неравенство / L /—(|Li / +|L2/)<e более истинно. Однако это неравенство противоречит равенству (10.6). Полученное противоречие доказывает, что предположение о том, что|Li / 4- / L2 / < / L|неверно, является, следовательно,|Li / +/A2/=/£/. Это свойство 2°. З а м е ч а н и Е2. Понятие длины дуги, задаваемое параметрическим
уравнением (10.3), вводится таким же образом, как и понятие длины дуги плоской кривой. Как и в случае плоскости, запишите кривую L/ / / = £G [(f (0)-f(0-i))] 2+[f(O-f(c-1))] 2+[x(O-x(C-i)] 2′. Z-1 Если множество {|/ / } длины ломаного I, вписанного в эту кривую, ограничено, то оно называется S p R I m l I e m o y, определяемое формулой (10.3). Точная верхняя поверхность|L / этого набора называется длиной дуги L. Пространственная кривая тренда имеет свойства 1°и 2 ° выше плоской кривой. Доказательство этих свойств аналогично доказательству плоской кривой
Смотрите также:
| Производные и дифференциалы высших порядков | Дифференцируемость и непрерывность |
| Понятие параметризуемой кривой | Формула Тейлора для отображений одного нормированного пространства в другое |
