Оглавление:
Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме
- Остаточный член в Формуле Тейлора в интегральной форме. Целью этой точки является получение уравнения Тейлора функции f (x) в окрестности любой точки a c O C a t h N s m h len om так называемой I n t e G R a l n o Th формы. Пусть функция f (x) имеет непрерывную
производную (PCH) th степени в некоторой e окрестности точки A. пусть X принадлежит указанной окрестности. Подумайте о равенстве Но Предполагая, что V (t)=—(x-t), его можно применить к интегралу
Х Х §F ‘ (t)интегральные выражения для частей dt=и (t)dv (t). By-a луч f(x) Людмила Фирмаль
— f (a)=f f(0dt= — [f(0 (x-0)1*+f G (0 (x-t) dt= один =f (a) (x-a)+J G (0 (x-0 Поэтому, последовательно интегрируясь в детали, мы получаем Икс L f4a)(x-a y+ — ^\r ‘ (t) (x-t y d t^. . . §5. Изначальная непрерывная функция 363 (A) (x-a)+1 / 2f»(a) (x-a) 2+… . .. +- г(а) (х-а) п+ — г J в(т) (х-т) п ДТ= Но п =2 тонны/( / !>(a) (x~a) A+7?p+1 (h)’ Y=1 Куда? Икс CPU+1 (x)=4 *
f/(n+,)®(X-G)n d t — n\J Но Мы видим его 7?»+1 (x) — остаточный член в факторизации Тейлора функции/(x) в окрестности точки a. При применении первого выражения среднего значения пункта 2§4 (см. свойство d) х х I » +1 (x)=J (O (X-0n)=J (x-t) n dt= один f (n+? g) (x-0n+1nl n+1 Икс а («+1)! Где g-некоторая точка отрезка [a, x]. Итак, при тех же
- предположениях мы получаем остаточный член в виде Лагранжа. На самом деле, легко заключить его (все n-(x-a) n+1 / 0. J o «+xs3v3 » o 2) применить правила подстановки переменных для вычисления интеграла: L / 4L / 4 Потому что? X J COS2X Отчет Один. Отчет Здесь i=tgx. Один. b) J x/1+x2dx o 2/2 «f A» =T Один. 2/2 = ( 2 / 2 — 1)/3, Где f= / l+x2. 3) применение интегрального правила части для вычисления интеграла: I/2I / 2 Im — (sinm xdx= — j sinm-1xd (cos x)= Отчет Ноль. I / 2 =
— sin » 1-1x cos x|J / 2+(tn-1)j cos2x sinm-2xdx=0 L / 2 =(m-1)C(1-sin2x)sinm_2xdx=(fn-l)[/m_2— / m]. TH_1 Отсюда: Im= ———/from_2at/n>2. м Легко видеть, что/0=l / 2,/i=l.By индукция, мы получаем его для t>2 2Т-3 2Т-2 3 1l’4 2 2 (2T-1) 11L (2T)! Я Г’ 2T2T-2 2T+1 ‘~2T+1 2m-1_4 _ 2j_ (2m) II «■5 3 1~(2T+1)11′ 4) функция f (x)=(1+x) » докажите, что остаточный член 7?»Интегральная Форма+1 стремится к нулю, если|x / <<1. Неравенство для сумм и интегралов. / ?П+1= — а (а н)р+О-‘(х-т р д т. Отчет Из очевидного неравенства t / x^O, 1-x>0, это выглядит так—— 1 — — (1 —x)>0 или=1 — <1-T. X X X Кроме того, поскольку x и x-это t-числа одного знака、= 1 — < 1 —( = |1 —(| или икс Х-Т < / икс|.
И так оно и есть., Что это? Около 1(1+0″ (Л+О * -1# Икс < / x|" (1+ ()"—■ = S (x, a) / x/ Людмила Фирмаль
«, o Где C (x, a) не зависит от p… (а-п)|/ч|р / р!=p». Рассмотрим любое число q, удовлетворяющее условию’ condition|x|<<7<1′. С тех пор Pn-j-i / a-p-11 / x| Армированный пластик / H|(P OO), p+1 Тогда в ti^N есть число N, такое как RP+1■<q. следовательно, RP означает, что pn^pN qn~N в ti^N. поворачивая это неравенство p К Xu, мы убеждены, что RP, поэтому YAP+1 стремится к нулю.
Смотрите также:
