Оглавление:
Формула конечных приращений (формула Лагранжа)
- Формула конечных приращений(формула Лагранжа) Большое значение в анализе и его применении имеет следующая теорема, которая принадлежит*.Лагранж. * Жозеф Люн Лагранж-великий
французский математик и машинист (1736-1813). Т ЕО Р ем А6. 4(Тео Р ЕМ А Л А Г Р А Н Г а). Если функция] (x) непрерывна на отрезке[a,6]и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка,то в пределах отрезка[a, B] справедливо выражение{(B)—} (A) (f-a) (6.1) выражение (F-A)
называется выражением Лагранжа или конечным Людмила Фирмаль
выражением. 8*228CH. 6. Основная теорема о дифференцируемых функциях Д О К а з а т е л ь с т в о. рассмотрим отрезок[a, следующая вспомогательная функция p (x)=|(x) — CA)—(x-a). (6.2) Б-а Убедимся, что для функции P(x) выполнены все условия ролевой теоремы. Фактически, P (x) непрерывна на отрезках[a, B] (как разность между
функцией/(x) и линейной функцией), и во всех внутренних точках отрезка[a, 6] она имеет производную, равную p'(x)=/'(x)—. Б-а Из Формулы (6.2) ясно, что P (a)=P (B)=0. Согласно теореме Лорера, некоторые из сегментов[a, B] являются、 Р'(Г=/'(Г—=0. (6.3)) Из равенства(6.3) следует формула Лагранжа (6.1). Подчеркнем, что в
- выражении (6.1), B>a, нет необходимости предполагать, что это выражение применимо к B<a. Z a m e h a n I e. мы получили теорему Лагранжа в результате теоремы роли. Но сама эта ролевая теорема является частным случаем теоремы Лагранжа (когда/(a)=/(&)). Теорема Лагранжа/(6)-чтобы прояснить геометрический смысл » (а)», отметим, что величина—; — это угловой коэффициент se—…………. Коэффициент касательной к кривой y=[(x) C (5,/) Через точку (?))да что с тобой
такое? Из уравнения Лагранжа (6.1) следует, что на кривой y-=p(x) между точкой A и точкой B имеется точка C, а касательная параллельна секущей AB (рис. 6.5). Часто удобно писать Лагранжевы выражения в несколько иной форме, чем (6.1). Пусть} (x) удовлетворяет условиям теоремы 6.4. Измените x&из сегмента[a, 6], чтобы дать вам любое приращение Ah, но значение XO++DX также находится в сегменте[a, 6]. Затем, если вы напишете
Лагранжево выражение для отрезков линии, ограниченных точками x0 и XO+DX, вы получите Б-а Скиния, проходящая через точки L (a,/(a)) и B(B,/(6)) Людмила Фирмаль
y=/(x), a / ‘ (^), имеет угол (6.4)§4. Некоторые результаты формулы Лагранжа 229 Где находятся некоторые точки между Ho и Ho+Ah? Можно утверждать, что такая (Ah-зависимая) цифра 0 является чем-то вроде следующего из интервала O<0<1 5 = Хо+0ах. Таким образом, формуле (6.4) можно придать вид/(Ho+Ah)-/(x0)=Ah/'(Ho+0Ah), (6.5), где 0-число из интервала O<0<1. Лагранжево выражение вида (6.5) точно представляет приращение функции любым конечным приращением ее аргументов. Этот вид Лагранжева выражения оправдывает термин «конечное инкрементное выражение».
Смотрите также:
