Оглавление:
Знакопеременные ряды
Знакопеременные ряды. Это положение, вообще говоря, касается ранга постоянных членов, когда меняются числа и знаки. Такой ряд называется чередующимся. Во-первых, рассмотрим так называемые чередующиеся ряды, то есть те, в которых члены попеременно положительны или отрицательны. Теорема 11 (Лейбниц).Если Пятница = 0(35.35） Я… » СО» И затем un ^ un + x 0, n = 1, 2,… (35.36） Дополнительные линии И 2(-1)Я + 1и«(35.37） Н-1 Это converges. In кроме того, частичная сумма (5) ряда 35.37 отличается на величину суммы 5 и меньше, чем следующий член un + 1. / Gp / = / 5-5Я / и+1.
То есть в этом случае оставшееся абсолютное значение ряда не превышает абсолютного значения его первого члена. Людмила Фирмаль
- Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного порядка ряда (35.37） Два〜 52A = 2 (1)L + 1 тыс. N = 1 Они могут быть записаны следующим образом 5рк-(Л1 -) +(м3 > 4)+… +(В1-1-к-1, 2,… Из-за условия (35.36) выражение в скобках не является отрицательным, поэтому оно равно 52A = ^ 52A + 2.То есть подпоследовательность четного порядка ряда (35.37) увеличивается. Обратите внимание, что частичная сумма z2k также может быть записана в следующем формате СЗК = У1 (У2-Н3) -…(m2y-2-uh-g)-u2k, k-1, 2,…、 Если выражение в скобках по условию (35.36) не отрицательно и равно C2A 0, то можно видеть, что u, т. е. последовательность (5**}, ограничена выше.
Из монотонного увеличения последовательность{$2 収束 сходится. (35.38） Золото 526 = 5. & *СО § 35.Числовой ряд Пятьсот шестьдесят восемь Частичная нечетность ряда указывает на то, что сумма следующих (35.37) стремится к одному и тому же пределу. Конечно. 52 * + 1-52 * -M2A + 1, k = 1, 2,…(35.39） И согласно (35.35) это ПтН2А + 1= 0.Затем(35.38) и «И (35.39) имеет ГВП 52А + 1 = 5(35.40） к * с (35.38) и (35.40) от、 ПГП 5» = 5. п * * * * * Где неравенства в ряду (35.37) 52 * 5 52A_1, k = 1.2,…(35.41） На самом деле, с одной стороны, 5 Монотонно возрастающий предел последовательности {«g *}» Отсюда 52 * ^ 5.С другой стороны、 $ 2 * +! = 52А-1 {п-2б-М2А + 1)52А-1к=\, 2.
- То есть, поскольку последовательность монотонно убывает, а S является пределом последовательности{«s^} (см. (35.40)), 5 = ^ 52J-1 из неравенства (35.41 5-52А » ®2А+ 1-$ 2 * = пр + л k = 1, 2,…、 $ 26-1-5 52А-1 $ 2 * щи、 Это все n = 1, 2,…Для неравенства / 5-5 ″ I 5 ^ un + 1 □ При выполнении условия (35.35), то есть когда общий член ряда стремится к нулю, проблемный ряд также сходится при выполнении условия (35.35), если условие чередования знака ряда и монотонности выполняется только из первого члена, а не из некоторого числа n0.
В Н = 1 (-1) i + d’P (35.42). В качестве примера рассмотрим серию Его члены сходятся, по-видимому, чтобы удовлетворить условиям теоремы 11. Обратите внимание, что 5X = 1 и 52 = 1/2.В общей сложности 5, есть оценка. (35.43） 35.10.Абсолютно сходящиеся линии 569. Не все свойства конечной суммы переносятся в ряд. Поясним это на примере той же серии(35.42).Если 5 = 1-т + т-т + г «1 + г-г + ’» (35-44） И затем… Если вы добавите этот ряд к ряду (35.44), вы получите уравнение T 5 = 1 + Y-T ±5 + T ±9 «+ TG » 1+ * * ’•(35-45).
Он основан на том, что отбрасывание членов ряда конечных чисел не влияет на их сходимость. Людмила Фирмаль
- То есть это сериал, состоящий из тех же членов, что и этот сериал (35.44), потому что он снят только в несколько ином порядке、 с Поскольку она равна 5 = 5, то становится 5 = 0, что противоречит неравенству (35.43). Где-то мы допустили серьезную ошибку, несмотря на очевидные доказательства правильности наших рассуждений. Куда? Подробный анализ этого вопроса будет дан в одном из следующих пунктов.
Смотрите также:
