Оглавление:
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
где 
для всех 
(т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли).
Теорема 61.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (61.1) сходится, если:
- Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.
; - Общий член ряда стремится к нулю:
.
При этом сумма 
ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам
Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа 
членов ряда (61.1). Имеем
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма 
и возрастает с возрастанием номера 
.
С другой стороны, 
можно переписать так:
Легко видеть, что 
. Таким образом, последовательность 
возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел 
, причем 
.
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа 
членов ряда (61.1). Очевидно, что 
. Отсюда следует, что
т. к. 
в силу второго условия теоремы. Итак, 
как при четном 
, так и при нечетном . Следовательно, ряд (61.1) сходится, причем .
Замечания.
1. Исследование знакочередующегося ряда вида
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (—1) к исследованию ряда (61.1).
Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).
2. Соотношение (61.2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму данного ряда его частичной суммой 
. Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд 
, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е. 
. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.
Пример №61.1.
Вычислить приблизительно сумму ряда
Решение:
Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать: 
. Взяв пять членов, т. е. заменив на
сделаем ошибку, меньшую, чем 
. Итак, 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Радикальный признак Коши |
| Интегральный признак Коши |
| Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов |
| Сходимость степенных рядов |
