Оглавление:
Затухающие колебания
- Если n ‘+ C? E , * i’) = e_n ‘(C1 cosk, z + C2sink1z), (26) где С , CJ И С, и С2 — произвольные постоянные. Решение (26) также может быть выражено в различных форматах амплитуды. q = Ae- » sin (, / + «), (27) Где Лиа — произвольная постоянная. Когда вы открываете общий знак, 9 = Le’u8t (k1 <- | -a) = e «‘,’ (Лsinаcosk (/ + Лcosаsinг). Сравнение этого уравнения с (26) дает постоянное реляционное выражение. L =% / C2 + C2; вши = C1 / L; cosa = C2 / L; lga-ClIC2- (28) Константы Ct, C2 и Л и А соответственно определяются из начального условия r = 0,?. =? 0, q = qo.
Дифференцируя по времени (26), q = —ne ~ «‘(Ct coskjJ + Cjsinkj /) + e ~»‘ (-Ciklsinklt + C2klcoskl t). (29) Использование уравнения (26) для q и использование (29) для q = / 0 дает уравнение, которое определяет C1 и C2. q0 = C; q0 = ~ nCi + ktC2. Из них G =? O; C2 = (? O + nq0) / k1 = (q0 + nq0) / y / k2-n2. Поэтому константа Ли в начальном условии выражается в следующем формате: Рисунок 114 Значение A является положительным. Это не амплитуда. Начальная фаза a может иметь значение в диапазоне 0-2p. Чтобы уточнить изменение функции q (t), создайте график, используя уравнение (27).
Показать, что если мгновенная ось занимает постоянное положение в теле, то она занимает также постоянное положение и в пространстве, и движение является вращением вокруг неподвижной оси. Людмила Фирмаль
Форма графика функции ^ = ^ e _ «sin (fc1t + a) (рис. 114) определяется путем построения вспомогательных функций qi = Ae ~ a ‘(кривая 1) и qi— ~ Ае (кривая 2) Я могу Кривые / и 2 ограничивают грех (£ tr + oc) и варьируются от 1 до -1. Итак, поскольку мы нарисовали синусоидальную волну между предельными кривыми 1 и 2, мы можем получить представление о форме графика функции q (t). На рисунке 114 фактически представлен график отдельных функций q (t), + Ae ~ m и -Ae ~ m. Из графика функции q (J) значение непрерывного максимального отклонения q от положения равновесия уменьшается с увеличением времени и стремится к нулю с неограниченным увеличением времени.
Поэтому движение, определяемое уравнением (27) или (26), называется затухающим колебанием. Условный период (или период) затухающего колебания называется периодом sin (Atf + a). Поскольку функции q (t) и sin (& jf + a) равны нулю одновременно, это период, в течение которого система проходит через положение равновесия Частота обращения sin (fcjr + a) — это величина ki = y / k ^ — n1. В результате период затухающей вибрации t 1 = 2l / *! = 2l / 7 * 2-i2- (31) Период затухающих колебаний является постоянной величиной, которая не зависит от начальных условий.
Период собственной вибрации при отсутствии сопротивления х = 2н / к. Из (31), используя бином Ньютона для разложения m в степенной ряд н / с, (31 ‘) Для очень малых с / с по сравнению с единицей можно предположить, что небольшое сопротивление не меняет период. Естественная вибрация системы. В более общем случае вы можете использовать приблизительное выражение На самом деле функция q (t) не является периодической. Это потому, что не существует величины m1 (выполняется ли условие периодичности? (Z + t1) = ^ (Z)). Определим момент, когда функция q (t) достигнет максимального и минимального значений. В это время q (t) = O.
Если дифференцировать уравнение q (t) от (27) и сделать производную равной нулю, получим следующее уравнение: ^ = i4e_n, [-nsin (^ i / + a) + fc1 cos (A: 1 / + a)] = 0 Поскольку e ~ m равен нулю только при z = oo, соответствующий момент времени определяется из условия, что выражение в квадратных скобках равно нулю. -n sin (kt t + a) + Л1cos (kt t + a) = 0, или tg (Ar1z + a) = fcl / n. Если tt является одним из найденных значений t, которые удовлетворяют этому тригонометрическому уравнению, все остальные найденные значения являются соотношением fc1Z + a = (fc1Z14-a, учитывая, что тангенциальный период равен l Встречаемся) + мн или Где m — любое натуральное число.
- Таким образом, когда функция q (t) достигает максимального и минимального значений, она образует бесконечную последовательность значений * i, h = G + p t3 = Zi + 2 ^ — + …. Из графика функции q (t) (см. Рис. 114) видно, что между двумя максимальными значениями существует одно минимальное значение, и наоборот. В результате два соседних максимума функции q (t) возникают после периода, равного 2n / £. Два последовательных минимальных значения также разделены интервалом времени, равным t. Переменная Ae ~ m называется условной амплитудой затухающей вибрации. Это не максимальное значение функции q (t).
Устанавливает закон флуктуации условия амплитуды Ae на n ‘с изменением времени периода Tj. Если условная амплитуда равна Ax = Ae˜m ′ в момент времени / 1, то после этого времени равна периоду затухающих колебаний Tj, тогда 2 = / 1 + τ1 Это верно в два разных времени в зависимости от периода t. На самом деле, если для = 4- / IT Lee = Le_p’-e’t ‘»-, Где m положительное целое число больше 1 и im + i = G + (w + l) ii Yat + 1 = Ae ~ «» e ‘, t + *>»‘ ■ = Ate ~ «x ‘.
Допустим теперь, что стержень деформируют, приложив к нему некоторые силы, но деформируют так, чтобы не изменилась длина стержня и чтобы его ось осталась плоской и приняла новую форму С. Людмила Фирмаль
Следовательно, непрерывным значением условной амплитуды в разные моменты времени в зависимости от условного периода является убывающая геометрическая последовательность A, Ate ~ «»; A1e ~ 2я, чA1е ~ тпх ‘; … с знаменателем е- «» чтобы сформировать». Можно показать, что последовательные значения функции изменяются по тому же закону убывающих геометрических последовательностей q = ae sin t + a) В разные моменты времени в зависимости от условного периода. В какой-то момент qt = Ae ~ «‘ sin (/ s, tt + a) = q1e ~» x>.
Поскольку sin [A, (r, 4-T,) + a] = sin (fc1rl 4-a), m — это период. Аналогично для /, = /, 4- / it, Если qm = Ae к n, «e to t» x sin (* J, 4-a), то Гд-ц ^ Ч-ОиЧ-От, 9m + i = ^ e- «ie- <M + 1» «t.sin (* 1f1 + a) = ^ me-» ’.. Таким образом, последовательные значения qt, q2, q „, … образуют геометрическую последовательность, которая уменьшается вместе со знаменателем. Два значения функции q (t), соответствующие временам с разными периодами m, связаны между собой Во-вторых, два последовательных максимальных значения удовлетворяют этому соотношению. Соотношение двух последовательных максимальных значений D = «G / Lx1 = e» ´- Это называется снижением вибрации.
Естественный логарифм уменьшения вибрации называется логарифмическим уменьшением вибрации. О логарифмическом уменьшении вибрации q P = 1pR = ит. (32) В дополнение к уменьшению вибрации и уменьшению бревен, часто используется другая характеристика демпфирования. Это добротность системы Q, определяемая приближенным соотношением Q = k / (2n), (33) Где k — частота собственных колебаний, которая не связана с сопротивлением. р — коэффициент ослабления.
Логарифмическое снижение вибрации может быть представлено качественным фактором. Фактически, из (32) и (33) учитывая (31) Таким образом, исследования могут сделать вывод, что небольшое линейное сопротивление немного увеличивает период колебаний по сравнению с отсутствием сопротивления, но значительно уменьшает непрерывное значение условной амплитуды, которое экспоненциально уменьшается со временем. Я могу
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
