Оглавление:
Замена переменных
Замена переменных. Во многих случаях оказывается целесообразным для приложения изучить различные задачи математического анализа, а также определенные формулы, содержащие функции и их производные (нормальные или частные), передать их другим независимым переменным или другим функциям, связанным с функцией. Давайте рассмотрим несколько примеров. допустим, u = u (x, y).Преобразование выражения К. полярные координаты r и f. первым из этих выражений является функция YY, 2-я степень длины наклона u. \и| 2, а 2-я-специальное обозначение A и. (41.108） (41.109).
Все эти преобразования осуществляются на основе правил различения сложных и неявных функций. Людмила Фирмаль
- Символ A, обозначающий приложение к функциям и операциям (41.109), называется оператором Лапласа’. Уравнения, связывающего декартовы координаты с полярными координатами、 Выяснить. 41.10.Переменные уведомления Примените дифференциальную формулу для сложных функций. Ди. Семнадцать Ди. Ди ДХ, Ди ду ду ДХ ДГ «» г » ду ДГ Ди ДХ Ди, Ди ^ Попс + ^ 3 。Ди-Ди-Ди-Ди. ,-Я +3 «-Д ^ = Д-Т 81P ф + д-г С08 Ф. ДФ ДФ ДХ ’ ду ДФ ДХ ду Т 1 т Разрешить эти равенства в отношении Дидди. 17 = 17so5 ^Ди ЗШ Ф Ди. Ф ДХ Ди. dG8Shf Ди соз. сальдо ДТ г ДГ Т 1 ДФ г Замените полученное выражение (41.108). (41.112） Я Против I2 Ди. дециграмм С08 Ф■ ■ Ди 81 п ф \ 2 df + Ди. 17 8ш(РДи потому что Ф \ 2 ДФ г)■~ ~ ’ди \ 2′ Семнадцать + К） Далее переходим к расчету по формуле(41.109).
Различают формулу (41.110), сначала вдоль x, затем вдоль Y. 1 = С08 Ф дециграмм dh. дециграмм_ dh. dt * Г 81P Ф-〜Н ■ ДГ, ДФ 0 = 81Pf-d7 + T C08f ^-、 „Генеральный директор. df 0 =СО8ф “ ^55шфж ’ 1 = 81P ф + г С08 Ф 5П Давайте решим систему, полученную относительно дециграмм Делать’ ДФ ДГ ДХ ДХ ДХ ДХ ду дециграмм дециграмм ДХ = c08f-а ^ = 8 df Семнадцать V1P f df К Поп-Ф] (41.113） Здесь мы различаем формулу (41.72) относительно x и y, а затем используем(41.113)、 Он движется. и dhg д_ дециграмм Ди Ди ЗШ Ф \ ДГ, д C08f-д^ -^) -^ + дециграмм d2i =00008ф ’ д)Dн dф 2 соѕ Ф ЗШ Ф d2i Ди Ди ЗШ Ф \ ДФ Т-С08 Ф-з——ДГ ^ ДФ 1 。 Зщ2 Ф d2i、 dh. d2a в du2 д дециграмм Ди. Zh8Shf д2м. 、 = ^81P3f Ди соѕ Ф ДФ г ДГ ДФ + д zs2f Ди 1 сделать ДФ \ ДГ 2 соѕ Ф ЗШ ф д 2И df2 ДГ г 51pf + ДФ soz2 Ф d2i、 Ягп2» 2 соѕ Ф ЗШ Ф Ди Г2 ДФ ’ Ди потому что Ф \ ДФ、 К ДФ ДГ Г2 делать soz2 Ф ди 2 соз Ф ЗШ Ф Ди ДГ Г2 ДФ * + (41.109).
- Если вы подставляете результирующее выражение. d2i d2m. 1 день $ 41.Неявная функция 84. Если преобразованное выражение содержит несколько производных, а не 1 определенного порядка, то удобно использовать метод вычисления производной, а не производной. Например, предполагая, что переменные x и y независимы, мы находим выражения для производных Y и ysp. Из Формулы (41.110) ых = соѕ Ф г. г 81p Ф yyts, ю = ХТ Ф мкг + г С08 Ф Ыф、 Отсюда Ю. Г. = co8 фих + 81Pfyu, ЖЛ = —c1xSuf-ю(41.114） Обратите внимание, что выражение ^(41.113) также берется непосредственно из этих выражений. Для функции u = u(x, y)、 Ди, Ди, Ди、 Йи = гггг ЖЛ = = [Д7 С08〜А * -Д*) Г + {ДГ 8Вт * + водонепроницаемые) * г 41115 В дифференциальной формуле yi коэффициенты xx и yy являются производными от и-w -, поэтому обе формулы (41.112) берутся непосредственно из(41.115).
Затем из (41.114) находим 2-е производные d2r и d2p. y2g = 81p ФГ Ф-ых + потому что ТЗ Юю = 81,112 Ф (1х—2 Соз 8 8 8ф радиальная 4У 4-с 082f а / 2 -* переменного тока—ЛК + 4.) ЛВ + (**ЛК ^ 4.) Лм = 2С08ф81Пф4×2-2(СОЗ2ф-81П2ф)с1х(1у-2С08ф$Шфarc Отныне (41. dc #у = ^ г. ’+ 2 почтовый индекс dg2 ДГУ Ф dc S02f ^ ДХ, сказал он. ди 2 ГП ф $ ш Ф ДЧ 81P2 Ф ДЧ、 ’7Б -’ ^ Ф2 ″ г дгзф. + ^ + 2 ssa%5 | N U) L * + 2(■..1х Ас +(…М’) _ _ _ _ _ _ _ _ Это дает формулу для квадратичной производной ШШ и, соответственно, как коэффициент хх2, 2йхюу и уу3. Конечно, подобный метод может быть применен, если другая модификация переменной x = x (u, z), 42.1.Понятие функциональной зависимости Восемьдесят пять y = * y(u, V),
Если существует производная более высокого порядка, и для функции с большим числом переменных. Людмила Фирмаль
- Упражнения 22.Преобразование выражения / Xi ’ 2, где u = u(x, y), декартовы координаты m), то есть、 23.Преобразуйте уравнение y’ hu’3 \ eUy’5 = 0 в новую независимую переменную y и используйте m для функции y. 24.Уравнение^-^ \ 2 = 0 переходит к новой независимой переменной u-x + y, y = x-Y. 25.В Выражение Л (1.4-1 2 2 [х * dx2 + У2 Ду *)+ 2 1 [1 ДГ \ г 1 АР \ 2 ■]П-го. Первый\、 Перейти к переменным u, v, 01 = a(u, o) a = x2, e?2А с G2a Выпуск 27. В N-мерном пространстве преобразуем выражение / Xi; 2, где u = u (x1 xn), декартово, то есть Меня зовут к. 2 г ДХ У3 делать 2dh; dhu(= 1 ^ = 0, 6 = 1, 2. н. ДХ ДХ, Дуду Щдч + Щдгг.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
