Оглавление:
Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции
Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции. Член по модулю выражения Тейлора, очевидно, зависит не только от приращения аргумента, но и от самой точки, в которой рассматривается разложение функции и считается, что оно было зафиксировано в§ 39.1.Здесь нас интересует эксплуатация и оценка остаточного срока в соответствии с изменениями в указанном points. To подчеркнем этот зависимый член, в этом подразделе мы обозначим остаточные члены порядка η через rm (x, Ax).Где X-(Х1,…xn) точка в окрестности, в которой эта функция разлагается в соответствии с Тейлором equation. As прежде, Ax =(A !и… Аксн). В формулах (39.21) и(39.22) вместо ’m (Ax) и r (Ax), r, П1… описать м(х, ах) и Е(Х, топор) соответственно.
Ниже, оценка остаточного члена выражения Тейлора в виде Пеано немедленно требуется для всей области расширения с указанным выражением. Людмила Фирмаль
- Во-первых, введем понятие непрерывности частных производных в замыкании открытого множества. Это требует специального определения. Даже если функция определена в замыкании множества O, в граничной точке открытого множества O、 В целом, рисунок 544 Она не определена(например, см. точку M границы области O на рисунке 144). Определение 1.Функции, определенные в открытом множестве O A Kn, P[on on. Функция P называется непрерывным продолжением функции (на O) и представляется/даже для простоты. От 14 до 39.Формула Тейлора и ряд Тейлора функций многих переменных.
Очевидно, что уникальность предела функции делает его уникальным, если функция , определенная в O, имеет непрерывное расширение до O. Определение 2.Если функция/определена как 0,а ее частные производные 1-го порядка (каждая с частной производной порядка m) непрерывно расширяются от 0 до 0, то функция/называется непрерывной дифференцируемой в O (непрерывной дифференцируемой в m соответственно Упражнение. 2.Докажите, что функция/определена с открытым множеством 0 и что Pn a непрерывно расширяется на ней г, д. [ Закрытие o является производной отправиться в какой-то момент в пограничном О’ О. Существует частичная (однонаправленная) производная, которая не является производной д [ ДХХ ’ Разрывное расширение частной производной до этой точки 3.
- Докажите, что непрерывная функция, определенная в ограниченном открытом множестве, является c. необходимо и достаточно быть равномерно непрерывной на O, поскольку она непрерывно расширялась до a / closure. In в случае неограниченных открытых множеств условие равномерной непрерывности непрерывной функции указывает на то, что она не должна быть достаточной для непрерывного расширения. 4.Создает пример функции, которая является непрерывной и связанной в домене и не может продолжаться непрерывно, пока домен не будет закрыт. Я ДХ / 6、 П =то \ ВХ… МН(х, ах)| е и| Е(Х, топор)| 8 (39.26） Давайте вернемся к формуле Тейлора. Предположим, что функция непрерывна дифференцируема с замыканием разомкнутого ограниченного множества C.
Тогда, согласно результатам§ 39.1, происходит разложение функции в каждой точке xe C (39.20) [согласно формуле Тейлора, в уравнении M (x, Ax) (39.21) и в Формуле (39.22) e (X, Ax), на множестве O p-равномерно (см. Определение подраздела 20.2), то есть, то есть, что существует Для всех точек XES. В этом случае это непосредственно следует из того, как получить функции etm, ty, e(Ax).фактически, из-за ограниченности и замыкания замыкания открытого множества O непрерывное расширение частной производной порядка m этой функции до O равномерно непрерывно на O(отсюда формула для случая η= 2 (см. 39.13). в общем случае аналогичное уравнение выполняется) условие (39.26), после которого дуплексный. (39.27） 39.3.Примечание по оценке остатков в Формуле Тейлора Пятнадцать.
Обратите внимание еще на одну оценку общего остатка формулы Тейлора, описанную в формате Лагранжа (39.19). Людмила Фирмаль
- Здесь, поскольку правая сторона (модуль непрерывности соответствующей производной) не зависит от тонкого множества O и стремится к нулю при 6-0, из (39.27), коэффициент Cot… равномерная тенденция m к нулю продолжается. Теперь мы можем оценить бесконечно малое r (Ax, Au) по уравнению(39.22).Для любого положительного целого числа n, как и в случае n-2 (см. (39.16)), его можно представить в виде: е(х, топор）Отсюда. 18 (х, а)! 2 [Ех1… МН (х, Ах) [. (39.28)） Т1 + … + ТН = Т Справа от неравенства(39.28) находится фиксированное число членов. Он представлен N. из-за уже однородной функции mn (x, Ax) в O он стремится к нулю. Так как существует 6 = 8 (e) 0 для конкретного e, то условие p (x, x + Ax) 6 тогда / Код комплектации 8t1… ТП(х) / ДГ ^ 1 ±•-+ / Мп = / П Отсюда и неравенство(39.28)、 8 (х, а)! 8.Я не уверен. Если функция/определена в открытом множестве O и частное ограничено в O.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
