Оглавление:
Вычисление площадей плоских фигур
Определение 1. Пусть Ф — фигура па плоскости. Рассмотрим множество — составленное из конечного числа многоугольников, содержащихся в Ф ,и Ф — составленное из многоугольников и покрывающее фигуру Ф:


Рис.1.

Рис.2. .
Пусть , где
— площади фигур
и
. Фигура Ф называется квадрируемой, если
. При этом число

называется площадью фигуры Ф (по Жордану).
Замечание. Для квадрируемости фигуры Ф необходимо и достаточно, чтобы такие, что

Рис.З.
В частности, для криволинейной трапеции (см. § 24) в качестве
можно рассматривать нижние и верхние суммы Дарбу (см. рис. 3,4, 5 из § 24). И тогда, с учетом § 24. из (1) следует, что

Пусть — непрерывны на
и
. Тогда из (2) следует, что для фигуры


Рис.4.
Задача №71
Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями .
Решение:

Рис.5. Фигура Ф.
Точки пересечения линий найдем, решив систему:

Сверху фигура ограничена прямой , снизу — параболой
. Поэтому по формуле (3):

Задача №72
Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями

Решение:

Рис.6. Фигура Ф.
Снизу фигура ограничена параболой , сверху — кривой
заданной двумя аналитическими выражениями.
Поэтому разобьем отрезок интегрирования [0, 3] на два: [0,1] и [1, 3], и

Задача №73
Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями .
Решение:

Рис.7. Фигура Ф.
Точки пресечения линий — у найдем, решив систему:

За независимую переменную в данном случае удобно считать -функцией от
.
Справа фигура ограничена прямой , слева — параболой
. По формуле (3):
— (см. пример 1).
Замечание. Необходимо помнить, что , когда функция
не является знакопостоянной, равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, расположенных выше оси
(со знаком «+») и ниже оси
(со знаком «-»).
Задача №74
.
Рис.8. .


Рис.9. .
Рассмотрим кривую на плоскости, заданную параметрически в виде — непрерывны при
. Предположим вначале, что кривая не имеет точек самопересечения (простая кривая) или образует петлю (если
простая замкнутая кривая).
Задача №75
а) График любой непрерывной функции — простая кривая:
(в качестве параметра берем х).
б) График любой непрерывной функции — простая кривая:
(в качестве параметра берем у).
в) Эллипс — простая замкнутая кривая:
(см. пример 8 §17).
г) Кривая (см. пример 10 §17) не является простой (имеет точки самопересечения при
.
Рассмотрим криволинейную трапецию

Площадь трапеции . Пусть
, где
— непрерывно-дифференцируема на промежутке
. Тогда по формуле (1) § 26:

где . Таким образом

(кривую удобно обходить так, чтобы область Ф оставалась слева).
Аналогично, для криволинейной трапеции


где непрерывно-дифференцируемая на промежутке
функция, то

где . При движении от
область остается слева.
Рассмотрим простую замкнутую кривую
. Площадь Ф, которую она ограничивает можно находить как по формуле (5), так и по формуле (6):

а также по формуле:

и при изменении параметра полный обход контура проходит против часовой стрелки (область остается слева).
Задача №76
.

Рис.10. График функции .
Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми .
(см. пример 1 § 26).
С другой стороны кривая задается параметрически в виде:

Поэтому, по формуле (5) .
Упражнение 1. В условиях примера 6 найти ту же площадь по формуле (6).
Задача №77
Найдем площадь ограниченную эллипсом

Рис. 11. Эллипс
— параметрическое уравнение эллипса.
Решение. Найдем площадь по формуле (7)

Задача №78
Найти площадь петли кривой:
Решение:
— четная относительно
функция,
— нечетная, поэтому кривая симметрична относительно оси
.

— точка самопересечения кривой.

Рис. 12. Кривая
При изменении от -1 до 1 обход контура проходит против часовой стрелки.
По формуле (6): .
Рассмотрим замкнутую кривую, имеющую точки самопересечения. В этом случае, проинтегрировав по всему контуру в формулах (5) — (7), мы получим алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных каждой пройденной петлей взятых со знаком «+», если петля проходится против часовой стрелки, и со знаком «-», если петля проходится по часовой стрелке.
Задача №79
Рассмотрим кривую .

Рис. 13. Кривая .
. При изменении
каждый лепесток кривой проходится против часовой стрелки, поэтому
площадь ограниченная четырьмя лепестками.
Площадь одного лепестка: . Вычисления проводим в пакете
Mathematica:
Ячейка Input:

Ячейка Output:

Иногда удобнее найти площадь одного лепестка и результат умножить на количество лепестков.
Задача №80
Рассмотрим кривую .

Рис. 14. Кривая
При изменении каждый лепесток проходится дважды (и оба раза против часовой стрелки);
. Площадь одного лепестка :
, площадь всей фигуры равна
.
Задача №81
Рассмотрим кривую .

Рис. 15. Кривая
Фигура, ограниченная малой петлей обходится дважды (и оба раза против часовой стрелки). Площадь, ограниченная внешним контуром:
Площадь ограниченная внутренним контуром:

Задача №82
Рассмотрим кривую


Рис. 16. Кривая .
Один лепесток проходится по часовой стрелке, второй — против:
. Площадь одного лепестка:
.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны: