Оглавление:
Определенный интеграл
Определение 1. Пусть функция определена на отрезке
. Разобьем
на n частичных отрезков точками
и обозначим это разбиение
. Пусть
— длина k — ого частичного отрезка
.
Число — диаметр разбиения. Выбираем на каждом отрезке
точку
и составим сумму

называется n — й интегральной суммой Римана.
Функция называется интегрируемой по Риману, если
, то есть
такого, что
и
набора точек
При этом называется определенным интегралом от функции
на отрезке
и обозначается
. Таким образом

Будем считать, что .
Задача №47
Задача №48
Пусть функция непрерывна на отрезке
,
. Рассмотрим фигуру Ф на плоскости:
— криволинейную трапецию:

Рис.1
Пусть — ее площадь. Из (1) следует, что
равна площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями
и высотами
:

Рис. 2. Интегральная сумма
Тогда .
Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости функции).
Пусть — интегрируема на отрезке
, тогда
— ограничена на
.
Доказательство. Предположим, что — неограничена на
. Пусть
и пусть
. Из (2) следует, что 3 8 — 8(e), такое что

для любой у которой
, то есть эти интегральные суммы
— ограничены. Причем неравенство (4) выполнено при любом выборе точек
из соответствующих отрезков. Пусть
— один из таких наборов точек. Так как
— неограничена на
, то она неограниченна по крайней мере на одном из частичных отрезков. Пусть, например, это будет отрезок
. Рассмотрим наборы
где
, тогда, так как
-фиксированы, то, начиная с какого-то номера
, суммы (1) будут выходить за пределы промежутка (4). Противоречие.
Замечание. Условие теоремы 1 необходимо, но не достаточно для интегрируемости функции.
Задача №49
Рассмотрим функцию Дирихле
(см. пример 3 §5) на отрезке
.
Тогда сумма
, если числа
— иррациональные, и
, если
— рациональные. Поэтому
— не существует и функция
— неинтегрируема.
Определение 2. Пусть функция определена на отрезке
и ограничена па этом отрезке. Пусть
— разбиение отрезка
.
Пусть , тогда

называются нижней и верхней суммой Дарбу для функции .

Рис.3.Нижняя сумма Дарбу .

Рис.4.Верхняя сумма Дарбу .
Суммы Дарбу являются функциями, определенными на множестве всех разбиений отрезка
.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны: