Оглавление:
Объемы тел
Под телом Т будем подразумевать ограниченное множество в пространстве. Будем рассматривать тела, имеющие внутренние точки и границу, которая также принадлежит телу (замкнутые тела), причем такие, что любые две внутренние точки можно соединить непрерывной линией, проходящей внутри тела.
Определение 1. Рассмотрим тело 
составленное из конечного числа многогранников, содержащихся в Т, и тело 
, составленное из многогранников и покрывающее тело 
Пусть 
, где 
объемы тел 
. Тело называется кубируемым, если 
. При этом число
называется объемом тела Т (по Жордану).
Замечание. Для кубируемости тела Т необходимо и достаточно, чтобы 
такие, что
Пусть для кубируемого тела Т известны площади 
его сечения плоскостями перпендикулярными оси Ох, проходящими через точки 
, 
— непрерывна
Разобьем отрезок 
па и частичных отрезков точками 
; 
и обозначим это разбиение 
. Пусть 
,
, — диаметр разбиения, тогда
Где 
это — объем цилиндрического тела высотой 
. и площадью основания 
. Пусть 
-ый слой тела Т между плоскостями, проходящими через точки 
и перпендикулярными оси Ох.
Так как Т — кубируемо, то 
— также кубируемо и 
, где
Тогда
, или
Где 
это — нижняя и верхняя суммы Дарбу функции , 
для разбиения . Поэтому 
. Таким образом
Замечание. Нужно заметить, что неравенство (4), которое использовалось для вывода формулы (6), выполняется, когда любые два рассматриваемые сечения тела Т при проекции на плоскость yOz полностью содержатся одно в другом. Однако формула (6) верна и в общем случае. Для этого достаточно потребовать, чтобы тело Т было кубируемым и функция — непрерывной.
Задача №92
Найти объем тела ограниченного поверхностями 
(ниже параболоида).
Решение:
Из системы уравнений 
следует, что z = h.
В сечении тела плоскостью проходящей через точку 
перпендикулярно оси Oz получается кольцо
Радиус внешней окружности равен R. радиус внутренней равен 
.
Поэтому по формуле (6):
Формулу (6) удобно применять к телам вращения. Пусть 
— непрерывна на отрезке 
. Будем вращать криволинейную трапецию
вокруг оси Ох. Получим тело:
Тогда сечением полученного тела плоскостью проходящей через точку (х, 0,0) и перпендикулярной оси Ох будет круг радиуса 
, и по формуле (6):
Где .
Аналогично, если 
, то при вращении вокруг оси Ох фигуры 
Получим тело, объем которого
Задача №93
Рассмотрим фигуру Ф ограниченную эллипсом 
, 
. Найдем объем эллипсоида полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры Ф .
Решение:
По формуле (7): 
.
Пусть функция 
— непрерывна при 
. Тогда, аналогично, при вращении вокруг оси Оу фигуры
Получим тело, объем которого
Если же вращать вокруг оси Оу трапецию
то 
Задача №94
Рассмотрим тело Т из примера 1. Оно получается, если вращать вокруг оси Oz фигуру, ограниченную линиями:
Из первого уравнения найдем 
, поэтому по формуле (9):
Задача №95
Объем 
при вращении фигуры 
из примера 3 вокруг оси Oz можно также найти и по формуле (10):
Задача №96
Фигура Ф ограничена линиями 
. Найти 
.
Решение:
Абсциссы точек пересечения: 
(см. пример 1 § 30). По формуле (8):
Замечание. Для непрерывной функции 
рассмотрим криволинейную трапецию 
Пусть 
— непрерывно-дифференцируема на промежутке 
. Тогда по формуле (7): 
Где 
— параметрическое задание линии
. Таким образом — 
, или
(кривая обходится так, чтобы область Ф оставалась слева).
Аналогично, для непрерывной функции 
рассмотрим криволинейную трапецию 
Пусть 
— непрерывно-дифференцируема на промежутке 
. Тогда по формуле (9):
Где 
— параметрическое задание линии
. Таким образом
(кривая обходится так, чтобы область Ф оставалась слева).
Рассмотрим область ограниченную простой замкнутой кривой 
(кривая лежит по одну сторону от оси Ох). Тогда объем 
можно находить по формуле (12):
(кривая обходится так, чтобы область оставалась слева).
Аналогично ,для области ограниченной простой замкнутой кривой 
(кривая лежит по одну сторону от оси (Оу) объем 
можно находить по формуле (13):
(кривая обходится так, чтобы область оставалась слева).
Задача №97
Дана астроида 
Найдем .
Решение:
, по формуле (12):
Задача №98
Петля кривой 
вращается вокруг оси Ох .Найти .
Решение:
, при 
и 
,при 
петля обходится против часовой стрелки. По формуле (12):
Упражнение 3. Петля кривой 
. вращается вокруг оси Оу. Найти .
Пусты 
— кривая в полярной системе координат, 
— непрерывна при 
. Рассмотрим па плоскости 
криволинейный сектор 
Тогда объем тела при вращении фигуры 
вокруг полярной оси равен
Задача №99
(см. пример 4 § 31).
Найдем .
Решение:
По формуле (14):
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
