Оглавление:
Несобственные интегралы второго рода
Несобственный интеграл второго рода — обобщение понятия интеграла Римана на случай, когда подинтегральная функция — неограниченна. Согласно необходимому условию интегрируемости функции (см. теорему 1 § 24) интегрируемая на промежутке 
функция ограничена па этом промежутке.
Определение 1. а) Пусть функция 
определена па промежутке 
, интегрируема па отрезке 
и 
.
Несобственным интегралом 2-го рода 
называется 
. Таким образом:
Если предел (1) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
б) Аналогично
для функции у определенной на промежутке 
, интегрируемой на отрезке 
и такой, что 
.
В) Если же 
, то
Если хотя бы один из пределов не существует, то интеграл расходится.
Задача №64
. Так как оба предела равны 
, то интеграл расходится.
Задача №65
Исследовать на сходимость 
.
Таким образом интеграл сходится, если 
и расходится, если 
. Теорема 1. (признак сравнения). Пусть 
такие, как в определении 1 а), и пусть
Тогда из сходимости несобственного интеграла 
следует сходимость несобственного интеграла 
, а из расходимости несобственного интеграла 
следует расходимость несобственного интеграла 
.
Теорема 2. (предельный признак сравнения). Пусть 
-положительны 
, удовлетворяют условиям определения 1а), и пусть 
. Тогда интегралы 
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство теорем 1 и 2 аналогично доказательству теорем 1 и 2 § 27.
На практике, при исследовании на сходимость по предельному признаку в качестве 
часто используют функцию 
(см. пример 2).
Задача №66
Исследовать на сходимость интеграл 
.
Решение:
интеграл сходится.
Упражнение 1. Исследовать на сходимость 
Задача №67
Исследовать на сходимость 
(интеграл Эйлера).
Решение:
Проверим сходимость. 
проинтегрируем по частям 
.
Таким образом 
и можно доопределить подинтегральную функцию до непрерывной на отрезок 
, поэтому интеграл 
существует и 
— сходится.
Вычислим интеграл.
Таким образом 
.
Рис.1. График функции 
.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
