Оглавление:
Несобственные интегралы первою рода
Несобственный интеграл первого рода — обобщение понятия интеграла Римана на бесконечный промежуток. Для бесконечного промежутка составить суммы Римана вида (1) § 24 нельзя.
Определение 1. Пусть функция определена на промежутке
и интегрируема на любом конечном отрезке
. Несобственным интегралом 1 -го рода функции
па промежутке
называется
. Несобственный интеграл обозначается
.
Таким образом:

Если предел (1) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Аналогично:

для функции , определенной на промежутке
и интегрируемой на любом конечном промежутке
и

где с — промежуточная точка , и интегралы в правой части формулы (3) вычисляются по формулам (1) и (2).
+? dx г dx 1 х 1 Ь л
Задача №57

Задача №58


Задача №59
Исследовать па сходимость

Таким образом, интеграл сходится, если и расходится, если
.
Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции определены на промежутке
, интегрируемы на любом конечном промежутке
и пусть
.
Тогда из сходимости следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
Доказательство следует из неравенства;

Теорема 2 (предельный признак сравнения). Пусть положительны
, удовлетворяют условиям определения 1 па этом промежутке и
. Тогда
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Пусть и такое, что
, тогда из определения предела
такое, что

И далее доказательство следует из теоремы 1.
На практике, при исследовании на сходимость по предельному признаку в качестве часто используют функцию
.
Задача №60
Исследовать на сходимость интеграл .
, следовательно, (см. пример 3), интеграл сходится.
Определение 2. Несобственный интеграл называется абсолютно-сходящимся, если сходится интеграл
.
Несобственный интеграл называется условно-сходящимся, если
сходится, а интеграл
— расходится.
Теорема 3. Пусть — сходится, тогда
— также сходится.
Доказательство. Пусть . сходится, тогда по критерию Коши (см.теорему 5 § 3)
выполняется неравенство
по свойству 4 § 24:
и по критерию Коши
— сходится.
Задача №61
Исследовать на абсолютную и условную сходимость J у«х
— сходится, (см. пример 1), тогда по признаку сравнения
. сходится и, следовательно,
сходится абсолютно.
Задача №62
Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы

п.1. Исследуем интегралы на сходимость.

— сходится,
сходится и, следовательно, сходится
Аналогично: — сходится.
n.2. Исследуем интеграл па абсолютную сходимость:

расходится,
— сходится (согласно п. 1), поэтому
— расходится, => по признаку сравнения
— расходится, поэтому
сходится условно.
Аналогично: — сходится условно.
Задача №63
Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы — интегралы Френеля.
. Рассмотрим
сходится условно (см. пример 6). поэтому и
сходится условно.
Аналогично — сходится условно.
Значения интегралов: .
Замечание. Функции также называемые интегралами Френеля используются в оптике;
через элементарные функции не выражаются.
Упражнение 1. Графики функций :


Построить графики функций , используя пакет Mathematica (рассмотреть стандартные функции
).
Замечание. Кривая, заданная параметрически в виде: называется клотоидой (спиралью Корню).
Используется при проектировании и строительстве дорог и транспортных развязок (угловое ускорение машины, движущейся по кривой с постоянной скоростью, равно пулю).
Упражнение 2. График клотоиды :

Построить график клотоиды: в пакете Mathematica.
Упражнение 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы
Замечание. называется интегралом Дирихле;
.

Рис. 1. График функции .

Рис.2. График функции .
Интегралы Дирихле и Френеля являются примерами интегралов от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.
Еще один такой пример — интеграл Пуассона (Эйлера-Пуассона или Гауссов интеграл): . Интеграл сходится и
.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны: