Оглавление:
Неопределенный интеграл
Определение 1. Пусть — промежуток действительной оси. Функция
называется первообразной для функции
на промежутке
, если
— дифференцируема на
и

Задача №12
a) — первообразная для
.
б) — первообразная для
:
на любом промежутке из области определения функции
.
в) — первообразная для
. Действительно,
и
— на любом промежутке, не содержащем точку 0.
Упражнение 1. Найти первообразную для функций:

Упражнение 2. — единичная функция Хевисайда (см. пример 4 §5). Найти первообразные для
:
1) на промежутке (0, 2); 2) на промежутке (- 2, 0); 3) на промежутке (- 2; 2).
Упражнение 3. Найти первоооразные для
на промежутках (0,2); (- 2, 0); (- 2; 2).
Замечание. Первообразная функция определена не однозначно. А именно, , где С — любая константа также будет первообразной для
.
В общем случае верна теорема:
Теорема 1. Две дифференцируемые на промежутке функции
и
будут первообразными для одной и той же функции
тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. Необходимость. . Докажем, что они отличаются на константу. Пусть
.
Тогда . Пусть
. По теореме Лагранжа (теорема 4 § 12):
Но
, поэтому
, то есть
, что и требовалось.
Достаточность. . Обозначим
. Тогда
, то есть
— первообразные для одной и той же функции
, что и требовалось доказать.
Определение 2. Множество всех первообразных для функции на промежутке
называется неопределенным интегралом от функции
и обозначается
Если — одна из первообразных, то , согласно теореме 1,

Свойства неопределенного интеграла.
1. Если — дифференцируема на
, то
,
или .

здесь под записью подразумеваем одну из первообразных.
3. Если имеет первообразную на
, то
также имеет первообразную на
и ,если
4. Если имеют первообразную на
, тогда
также имеет первообразную на
и:

Свойства 1 — 4 легко выводятся из определения первообразной и интеграла и соответствующих свойств производной.
Докажем, например, свойство 3.
Пусть — первообразная для
на промежутке
. Тогда
то есть
— первообразная для
что и требовалось доказать.
Из определений 1,2 следует, что интегрирование — действие обратное дифференцированию (находится функция, производная которой равна данной).
Таблица интегралов

При вычислении интегралов в простых случаях применяют свойства 1 — 4.
Задача №13

Задача №14
Теорема 1. Если — непрерывна на промежутке
, то для нее
первообразная функция
на этом промежутке.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны: