Оглавление:
Длина дуги кривой
Определение 1. Рассмотрим простую кривую L на плоскости (см. § 30), заданную параметрически в виде
Разобьем отрезок 
на n частичных отрезков точками
и обозначим это разбиение 
. Пусть 
длина k-го частичного отрезка 
— диаметр разбиения. Пусть 
— точки на кривой, 
. Рассмотрим ломаную последовательно проходящую через точки 
.
Пусть 
— длина k-го частичного звена ломаной
. — длина ломаной (2)
Кривая называется спрямлякмой, если множество 
— длин всевозможных вписанных в кривую ломаных — ограничено, при этом 
— называется длиной кривой L.
Замечание. Эквивалентное утверждение: число 
называется длиной кривой L, если 
такое, что 
разбиения диаметром 
выполнено неравенство
Теорема 1. Пусть 
— непрерывно-дифференцируемы, тогда кривая L вида (1) — спрямляемая.
Доказательство. 
Тогда 
, где 
. Таким образом 
— ограничено, и следовательно имеет точную верхнюю грань, что и требовалось доказать.
Найдем длину кривой L. Рассмотрим случай явного задания функции:
Тогда из (3): 
—n-ная интегральная сумма для функции 
поэтому:
Аналогично для кривой L заданной по формулам (1)
Длина l пространственной кривой L: 
находится по формуле:
Задача №88
Найдем длину дуги астроиды 
Рис. 1. Астроида 
.
Решение:
. По формуле (5): 
.
Задача №89
Найти длину дуги линии 
.
Рис.2. Кривая 
.
Решение:
Кривая симметрична относительно оси 
:
— задают верхнюю и нижнюю ветви 
. По формуле (4)
. Длина всей кривой: 
.
Замечание. Если кривая не является простой, необходимо учитывать возможность самоналожения участков кривой друг на друга.
Задача №90
Найти длину кривой 
Решение:
При 
; — получаем график:
При 
получаем тот же график, проходимый в обратном направлении (точки 
) совпадают.
Поэтому
(проверить).
Упражнение 1. Найти длину кривой 
Построить кривую.
Замечание, 
называется дифференциалом длины дуги.
И тогда формула (5) перепишется в виде:
Найдем длину кривой L заданной в полярных координатах: 
, 
. где функция 
— непрерывно-дифференцируема. Тогда (см. формулы (1) § 31) 
— параметрическое задание кривой;
Поэтому 
Задача №91
Найти длину дуги части кардиоиды 
, расположенной вне круга 
(см- пример 4 § 31).
Решение:
поэтому по формуле (7)
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
