Задача С6. В цилиндре под двумя одинаковыми тонкими поршнями находится сжатый идеальный газ. Расстояния от дна цилиндра до нижнего поршня и от нижнего поршня до верхнего одинаковы и равны h. Давление воздуха под верхним поршнем вдвое больше атмосферного. Вся система находится в равновесии. На верхний поршень надавливают так, что он опускается на место нижнего, сжимая газ. Каким станет расстояние х от нижнего поршня до дна сосуда? Атмосферное давление постоянно.
Обозначим h расстояние от дна цилиндра до нижнего поршня и от нижнего поршня до верхнего перед надавливанием на верхний поршень, — атмосферное давление, х — расстояние от нижнего поршня до дна сосуда после надавливания,
— давление воздуха под верхним поршнем до надавливания,
— давление воздуха под верхним поршнем после надавливания,
— объем воздуха под верхним поршнем до надавливания,
— объем воздуха под верхним поршнем после надавливания, S — площадь основания поршней и дна цилиндра,
— давление поршня,
— давление силы, придавившей поршень,
— давление воздуха под нижним поршнем до надавливания на верхний,
— давление воздуха под нижним поршнем после надавливания на верхний,
— объем воздуха под нижним поршнем после надавливания.

Решение:
Поскольку об изменении температуры нам ничего не сказано, мы имеем право считать процесс сжатия газа изотермическим. Значит, здесь можно применить закон Бойля — Мариотта, записав его применительно к газу сначала под верхним поршнем, потом под нижним (рис. 181, а и б).

Закон Бойля — Мариотта применительно к газу под верхним поршнем будет выглядеть так:

Давление газа под верхним поршнем при равновесии равно сумме атмосферного давления
и давления поршня
:

Но по условию задачи , поэтому

Объем воздуха под верхним поршнем вначале был равен:

После опускания верхнего поршня на место нижнего газ под ними сжался и давление под верхним поршнем стало . Теперь оно равно сумме давлений атмосферы
, поршня
и некоторой силы, придавившей поршень,
:

Новый объем воздуха под верхним поршнем станет равен:

Подставим равенства (3), (4) и (5) в формулу (1):

или после сокращения S

Теперь перейдем к газу под нижним поршнем. Запишем применительно к нему закон Бойля — Мариотта:

Давление газа под нижним поршнем до опускания верхнего было равно сумме давления газа под верхним поршнем
и давления самого нижнего поршня
:

согласно условию задачи и равенству (2).
Поэтому
Давление газа под нижним поршнем после его сжатия стало равно сумме давления газа под верхним поршнем
и давления самого нижнего поршня
:

согласно (2) и (4).
Новый объем воздуха под нижним поршнем станет равен:

Подставим правые части равенств (8), (3), (9) и (10) в формулу (7):

Теперь нам предстоит решить систему уравнений (6) и (11) относительно искомого расстояния х, исключив из них неизвестные давления. Давайте в этих уравнениях сначала раскроем скобки и сделаем приведение подобных членов, — может, мы их при этом немного упростим. Начнем с уравнения (6):

Теперь проделаем то же самое с уравнением (11):

Если теперь разделить левые и правые части уравнений (12) и (13) друг на друга, то все неизвестные давления сократятся и мы сумеем найти расстояние х:

Отсюда .
Ответ: .
Эта задача взята со страницы подробного решения задач по физике, там расположена теория и подробное решения задач по всем темам физики:
Возможно вам будут полезны эти задачи: