Оглавление:
Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Случаи интегрируемости
- Дана внешняя сила F ^, F ^ Fje, приложенная к телу), и к этому необходимо приложить силу реакции неподвижной точки (см. Рис. 135). Какой силой ограничивается проекция основного момента L. Оси координат, закрепленные на теле, зависят от первой производной по времени, углам Эйлера , , 0 и времени , , 0 и не зависят от производных более высоких порядков этих величин.
Так как синус и косинус переменного аргумента не равны нулю одновременно, то тождество может выполняться только тогда, когда каждая из постоянных в квадратных скобках равна нулю, т. Людмила Фирмаль
Если тело указано, его момент инерции относительно главной оси инерции неподвижной точки тела. Вам нужно определить движение своего тела, то есть угол Эйлера как функцию времени. Для этого нам нужно интегрировать систему из шести динамических (14) и кинематических (15) уравнений Эйлера. В этом случае отображаются шесть произвольных констант интегрирования. Если вам нужно указать дополнительные начальные условия, то есть, если Г = 0, вы должны указать число угла Эйлера и его первую производную. Поэтому вы должны спросить: = 0; p = 0; = 0; 0 = ; Ф = Ф0; Ф = ФО; b = b0.
- Интеграция системы нелинейных дифференциальных уравнений (14) и (15) с общими начальными условиями (19) является очень сложной задачей. В общем случае начальных условий внешняя сила не решается, даже если это всего лишь реакция между силой тяжести самого тела и неподвижной точкой. В случае тяжелого твердого тела, которое вращается вокруг фиксированной точки, первая система интегрирования дифференциального уравнения показана в трех случаях, из которых неизвестные углы Эйлера вычисляются как функция времени, то есть путем вычисления интеграла.
Эти частные случаи называются случаями интегрируемости уравнений Эйлера. Для Эйлера. Форма тела произвольна, но центр тяжести зафиксирован. То есть, Lie, = L , e = L ^, = 0 В этом случае углы Эйлера представляются специальными эллиптическими функциями. Для Лагранжа (для симметричного гироскопа). Тело имеет ось симметрии, например, Оз. Из за симметрии Jx = Jf, а эллипсоид с фиксированной точкой является сфероидом. Неподвижная точка O и центр тяжести C находятся на оси симметрии. В этом случае можно показать шесть независимых начальных интегралов, из которых углы Эйлера рассчитываются квадратурно.
Очевидно, допущения приближенной теории позволяют рассмотреть прецессионное движение гироскопа с точностью до некоторой регулярной прецессии, существовавшей до действия внешних сил. Людмила Фирмаль
По делу Ковалевская. Долгое время мы не могли показать другие случаи интеграции, Математик С. Ковалевская, которая участвовала в конкурсе, объявленном Академией наук Франции, еще не открыла еще одно дело под названием Ковалевская. Для Ковалевской JX = J = 2JZ. Неподвижная точка находится на оси симметрии Oz, а центр тяжести находится на экваториальной плоскости (плоскости Оху) инерционного эллипсоида неподвижной точки тела. Во многих важных случаях, особенно в гироскопических симметриях, уравнения Эйлера почти интегрированы. Известно также много конкретных случаев начальных условий, которые могут точно интегрировать уравнения Эйлера во время движения гироскопа под действием силы тяжести.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Динамические уравнения Эйлера | Астатический гироскоп |
| Кинематические уравнения Эйлера | Движение гироскопа под действием силы тяжести |
