Задача C17. Небольшое тело соскальзывает с вершины полусферы радиусом R (рис. 136). На какой высоте h тело сорвется с поверхности полусферы и полетит вниз? Трение не учитывать.

Обозначим g ускорение свободного падения, — начальную скорость тела на вершине полусферы,
— потенциальную энергию тела на вершине полусферы,
— потенциальную энергию тела на высоте
— кинетическую энергию тела на высоте
— линейную скорость тела в момент отрыва от поверхности, m — массу тела,
— угол между радиусом, соединяющим тело с центром полусферы, и вертикалью,
— центростремительное ускорение тела.

Решение:
По закону сохранения механической энергии потенциальная энергия тела на вершине полусферы, т.е. на высоте, равной радиусу полусферы R, равна сумме его потенциальной
и кинетической
энергий в любой другой точке, и значит, и в момент отрыва тела на высоте h:

Здесь .
Тогда

Для нахождения высоты h нам требуется определить линейную скорость тела V. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона. В момент отрыва тела от поверхности полусферы на него действует только сила тяжести , а сила реакции опоры становится равной нулю. Тело еще движется по окружности, поэтому центростремительное ускорение в каждой точке направлено по радиусу к центру полусферы. Спроецируем силу тяжести на радиус, соединяющий тело с центром полусферы в момент отрыва. Проекция
по второму закону Ньютона равна:

Поскольку

Но угол о. нам тоже не известен. Однако, если внимательно посмотреть на чертеж, то можно заметить такой же угол между вектором силы тяжести и радиусом, проведенным к телу в момент отрыва. Эти углы равны как накрест лежащие при параллельных и секущей. Из линейного прямоугольного треугольника с гипотенузой R и прилежащим к углу а катетом h следует, что

Тогда

Подставив (2) в (1), получим:

откуда

Ответ: .
Эта задача взята со страницы подробного решения задач по физике, там расположена теория и подробное решения задач по всем темам физики:
Возможно вам будут полезны эти задачи: