Оглавление:
Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися.
Плоскости параллельные
Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, на чертеже у параллельных плоскостей должны быть соответственно параллельны одноименные проекции двух пересекающихся прямых, лежащих в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей используется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных плоскостей.
На рис. 4.1 показано построение плоскости , проведенной через заданную точку
, параллельно заданной плоскости
.

Для решения задачи следует выполнить следующие графические действия:
1-е действие. В заданной плоскости , построить вспомогательную прямую, например, горизонталь
, то есть создать в плоскости пересекающиеся прямые.
2-е действие. Через заданную точку провести две пересекающиеся прямые
и
,
параллельные двум пересекающимся прямым и
заданной плоскости
:
-прямую параллельно прямой
(или
;
-прямую параллельно вспомогательной прямой
.
Построенная плоскость будет параллельна заданной плоскости
, так как две пресекающиеся прямые
и
плоскости а соответственно параллельны двум пересекающимся прямым
и
построенной плоскости
.
Параллельность прямой и плоскости Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (рис. 4.1) прямая, например, параллельна плоскости
, так как проекции прямой
проведены параллельно одноименным проекциям прямой
, лежащей в этой плоскости.
Плоскости пересекающиеся
Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая линия, принадлежащая обеим плоскостям.
Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плоскостей возможны три случая:
1-й случай — обе плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.
На рис. 4.2 изображены две пересекающиеся фронтально-проецирующие плоскости и
, элементом пересечения которых является фронтально-проецирующая прямая
(соответственно, горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой). Фронтальная
и вырожденная в точку проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырожденных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная
проекция линии пересечения — прямая, перпендикулярная оси
.

2-й случай — только одна из плоскостей занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости частного положения, а другую проекцию линии пересечения требуется построить.
На рис. 4.3 изображены две пересекающиеся плоскости, из которых плоскость , заданная своим горизонтальным следом
, является горизонтально-проецирующей, а другая плоскость, заданная треугольником
, — плоскость общего положения. Горизонтальная проекция
искомой линии пересечения плоскостей в этом случае совпадает со следом
плоскости
, а фронтальная проекция
линии пересечения построена по принадлежности точек
и
сторонам треугольника
.
3-й случай — пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.
!!! Если пересекаются три плоскости, то элементом их пересечения является точка!
Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:
Начертательная геометрия для 1 курса
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Точка и прямая в плоскости |
Понятие о следах плоскости |
Перпендикулярность |
Пересечение прямой с плоскостью |