Вывод формулы Тейлора

Вывод формулы Тейлора

Вывод формулы Тейлора. Если функция y = [(x) имеет производную с x0, то ее приращение можно выразить как: Другими словами, существуют линейные функции Такие как В дальнейшем Возникает более общая проблема. Предположим, что функция/имеет x0 n derivatives. It необходимо выяснить, существует ли полином Pn (x) с максимальным N-М порядком, например: По аналогии с формулой (13.1) находим этот многочлен в виде: Pn (x0)-из первого условия A0, (13.3), т. е. f (x0)= Pn (x0), то A0 = f (x0).Следующий откуда P’N(xn)= Ab и Pn (x0)= [’(x0), поэтому A1 = f’(x0).Тогда мы находим 2-ю производную многочлена Pn (x). Из этого и вытекает условие/ » (x0)=(x0), A2 = Построить себя полиномами Все отношения (13.3) будут удовлетворены.

Мы получаем В выражении (13.5), если x0 = 0, вы получаете выражение Тейлора определенной формы, обычно называемое выражением Маклорена. Людмила Фирмаль

• Проверьте, выполнено ли условие (13.2). Позвольте мне. Из условий (13.3） Таким образом, для выявления неопределенности PX применяют правило лопитара n раз-x0, то есть первые n-1 раз Вы получаете § 12 теоремы 2, затем тот же раздел теоремы 1. То есть, по сути, rn (x)= o ((x —x0)) и x-x0. Поэтому доказываются следующие очень важные теоремы: Теорема 1.Предположим, что функция [(x), определенная интервалом (a, b), имеет производную от порядка x0 e (a, b) до порядка N. тогда как x-x0 Эта теорема, наряду с ее доказательством, говорит о функции/, определяемой интервалом[a, b], о x0 e [a, b]、 если x0 = a и xn = b, то производная означает соответствующую одностороннюю производную. Выражение (13.5) называется выражением Тейлора * N-го порядка, которое имеет члены по модулю в виде Пеано. Полиномы Называется полиномом Тейлора и функцией ■ N-й остаточный член Тейлора expression.

• Показано, что оставшийся член rn(x) равен x-* x0, а полином Тейлора (13.В) бесконечно малое число более высокого порядка, чем все члены. Указывает на другую форму выражения (13.5). х-х0 = дя, Ау =((х0 + **. Д Такой многочлен является многочленом Тейлора. Величина ошибки задается оставшимися членами. Формула Тейлора с модулем в виде Пеано обеспечивает равномерный способ разделения основной части функции в окрестности заданной point. In на этой ситуации основано большое количество различных применений формулы (13.5)в различных вопросах анализа. Обратите внимание на полезные результаты теоремы 1. Предположим, что результирующая функция [(x) определяется интервалом (a, b) и имеет производную до Порядка n + 1 в точке x. * ’Б.

оказанная теорема позволяет заменить любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы, многочленами до бесконечно малой степени выше полиномиального члена, вблизи точки. Людмила Фирмаль

• Тейлор (1685-1731) английский математик. ** К. Маклафлин (1698-1746) шотландский математик. Всесторонний. Тогда как x-x0 Действительно, по теореме 1, Если x-x0 И с тех пор для x + x0 выражение (13.10) сразу же следует за выражением (13.9). Упражнение 1. если функция [[(x) в окрестности x0 имеет производную Порядка n, то точка x и функция φ (() в этой окрестности оказываются непрерывными в интервале, который заканчивается точкой x и x, если в этом отрезке имеется ненулевая производная, то точка| / между X и X присутствует, так что для выражения (x) Знак вспомогательной функции Φ (0 = i (x) −2 Затем мы применяем теорему Коши о среднем значении к функциям p и Phi. Выведите оставшийся член в виде Schlömilch-Roche put.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Неопределенности вида оо/оо.	Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки.
Обобщение правила Лопиталя.	Примеры разложения по формуле Тейлора.