Выражение площади в криволинейных координатах.

Оглавление:

Выражение площади в криволинейных координатах.

Выражение для области в координате кривой. Предположим, что на плоскости x y задана область (o), ограниченная простым кусочно-гладким контуром(5). Формула (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между этой областью, заключенной в

аналогичный контур (E), и областью (E) на плоскости B. 353)§5. Замена переменных в двойном Интеграле 279 Мы придерживаемся всех предположений n°352 относительно этого преобразования области и, кроме того, что любая из функций (1) существует в смешанной области (e) производных квадратичной области

и не является непрерывной.: (Благодаря непрерывности, они имеют равные Людмила Фирмаль

значения, n°147)) — при этих предположениях мы можем мыслить в виде двойного интеграла, распространенного на область D на плоскости XY нашего собственного.)\ (6) [n°347, см. (4)]. Сначала мы используем параметрическое уравнение контура для перехода от интеграла кривой (6) к нормальному определенному интегралу. Затем мы снова преобразуем это последнее в Интеграл кривой, но мы взяли это время вдоль контура(E) области (D). Наконец, используя

формулу Грина, полученный Интеграл кривой заменяется двойным интегралом по области (d). Для выполнения этого плана необходимо параметрическое уравнение контура (5). Мы предпочитаем исходить из этого контурного уравнения, поскольку мы имеем в виду перейти к контуру(E)в будущем. Пусть(3) дает параметрическое представление кривой (E); тогда(4) дает такое же представление кривой ясно (5), так как[из нашего предположения следует, n°352] мы выбираем пределы

изменений в A и p и поэтому, когда мы передаем кривую (5) из A в p, мы пишем n o l l l o f и t E L O M вы можете использовать его для Затем по формуле (5)n°331, П О=Х (1)г ‘ (1)Си Или рассмотрим(4)и(5)), П Но Но Обратите внимание, что эти дополнительные предположения не имеют отношения к справедливости конечного результата и вводятся только для облегчения доказательства.280Ч. XXI. двойной Интеграл[353 Давайте сравним это интегрирование с интегрированием кривой Около (8) (2) Взяты по контурной линии (Е) Н О Л О Ф и т е л ь н о м в направлении. Если мы попытаемся свести последнее к обычным определенным интегралам, то вместо функций B и t]и t] ( ^ ) из параметрических уравнений кривой (E) нам нужно подставить сюда, и тогда мы сможем вычислить интегральные

интегралы. Но следует иметь в виду еще одно обстоятельство. При переходе от А К Р контур(5) описывается в положительном направлении. Однако, поскольку контур (E) может быть описан как в положительном, так и в отрицательном направлениях, Интеграл (7)и(8) действительно могут быть разными по знаку. В любом случае, O=+(9) (2) И (опять же, чтобы подчеркнуть это) положительный обход контура (5) соответствует положительному обводу контура (E), а если знака минус нет, то делается знак плюс. Наконец, остается преобразовать полученный Интеграл кривой в двойной Интеграл. Для этого нужно использовать зеленую формулу () В )

Где мы думаем Т1)=Х^,<2(В,= С тех пор К ДХ^ду. d2u05~d^d^ 'x d^' Dr DH du I d2u Людмила Фирмаль

dt]D^d%x D% ‘ y смешанные квадратичные производные равны друг другу. ДС? Д-р__Я(х, Г) Д$Д У-О (&,’ И мы приходим к формуле 354]§5. Замена переменных в двойном Интеграле 281 Мы видели, что n°352, сделанный в предположениях, является определяющим фактором уд Около) UD содержит определенную область входа (A). Тот же знак имеет целое число. Так как результат должен быть практически положительным числом Р, то ясно, что знак перед интегралом совпадает со знаком определителя. Если вы введете этот знак в Подинтегральную функцию, то, очевидно, получите B C o l y t n a I b E

L i h и n a определитель, поэтому конечное выражение области будет выглядеть следующим образом: (1 0 ) (ЛЯ) Это та формула, которую мы хотели установить. Суб-интегральный IP ( * , Y) / П (5, Это обычно называют элементом области криволинейных координат. Например, в случае перехода к полярным координатам определителем функции является g, поэтому мы обнаружили, что элемент области полярной координаты является gygyd

Приложения к физическим задачам	Дополнительные замечания
Преобразование плоских областей	Геометрический вывод